IX. Philosophische Grammatik. |
1
… der Funktion
einen strengen Sinn hat, so muß sie sich in einer
Definition ausdrücken, die das Funktionszeichen mit der
Tabelle als gleichbedeutend erklärt. |
29.
Wenn Leute sagen, der Satz „es ist wahrscheinlich,
daß p eintreffen wird” sage
etwas über das Ereignis
p, so vergessen sie, daß es
auch wahrscheinlich bleibt, wenn das Ereignis
p nicht
eintrifft. |
Wir sagen mit dem
Satz „p wird wahrscheinlich
eintreffen” zwar etwas über die Zukunft, aber nicht
etwas „über das Ereignis
p”, wie die
grammatische Form der Aussage uns glauben macht. |
Wenn ich nach dem Grund einer Behauptung
frage, so ist die Antwort auf diese Frage nicht für den Gefragten
& eben diese Handlung (die Behauptung),
sondern allgemein gültig. |
Wenn ich sage: „das Wetter deutet auf
Regen”, sage ich etwas über das zukünftige
Wetter? Nein, sondern über das gegenwärtige,
mit Hilfe eines Gesetzes welches das Wetter zu einer Zeit mit dem
Wetter zu || in einer späteren || früheren Zeit in Verbindung bringt. Dieses
Gesetz muß bereits vorhanden sein, & mit seiner Hilfe
fassen wir gewisse Aussagen über
unsere Erfahrung zusammen. – Aber dasselbe könnte man dann auch für historische Aussagen behaupten. Aber es war ja auch vorschnell, zu sagen, der Satz „das Wetter deutet auf Regen” sage nichts über das zukünftige Wetter. Das kommt, darauf an, was man darunter versteht „etwas über etwas auszusagen”. Der Satz sagt eben seinen Wortlaut! Er sagt || Der Satz „p wird wahrscheinlich eintreten” sagt nur etwas über die Zukunft in einem Sinn, in welchem seine Wahr- & Falschheit gänzlich unabhängig ist von dem, was in der Zukunft geschehen wird. |
Ramsey definiert x = y als || Ramsey
erklärt „x = x” auf einem
Umweg als die Aussage .... &
„x = y” als
(φe) ∙ φex
≡ φey Aber nach den
Erklärungen, die er über die || seine Funktionszeichen „φe” gibt
ist (φe) ∙ φex ≡ φey die Aussage: „jeder Satz ist jedem Satz äquivalent”. Er hat also mit seiner Erklärung nichts andres erreicht, als mit den zwei Definitionen x = x ≝ Tautologie x = y ≝ Kontradiktion bestimmt ist || was die zwei Definitionen x = x ≝ Tautologie x = y ≝ Kontradiktion bestimmen. (Das Wort „Tautologie” kann hier durch jede beliebige Tautologie ersetzt werden und das gleiche gilt für „Kontradiktion”) Soweit ist nichts geschehen als eine Erklärung || Erklärungen der zwei verschiedenen Zeichenformen x = x & x = y zu geben. Diese Erklärungen können natürlich durch zwei Klassen von Erklärungen z.B.
„(∃x,y) ∙ x ≠ y” d.h. „(∃x,y) ∙ ~(x = y)”, – dazu hat er aber gar kein Recht: denn was bedeutet in diesem Zeichen das „x = y”? . Es ist ja weder das Zeichen „x = y” welches ich in der Definition oben gebraucht habe, noch natürlich das „x = x” in der vorhergehenden Definition. Also ist es ein noch unerklärtes Zeichen. Um übrigens die Müßigkeit jener || dieser Definitionen einzusehen lese man sie (wie sie der Unvoreingenommene lesen würde) so: Ich erlaube, statt des Zeichens „Taut.”, dessen Gebrauch wir kennen, das Zeichen „a = a” oder „b = b” etc. zu setzen; & statt des Zeichens „Cont.” („~Taut.”) die Zeichen „a = b”, „a = c”, etc. Woraus übrigens Ich kann nun „(∃x,y) ∙ x ≠ y” natürlich wieder erklären; etwa als a ≠ a . ⌵ . a ≠ b . ⌵ . b ≠ b . ⌵ . b ≠ c . ⌵ . a ≠ c diese Erklärung aber ist eigentlich Humbug & ich sollte unmittelbar schreiben (∃x,y) ∙ x ≠ y ≝ Taut. (D.h. das Zeichen auf der linken Seite würde mir als ein neues – unnötiges – Zeichen für „Taut.” gegeben.) Denn wir dürfen nicht vergessen daß nach der Erklärung „a = a”, „a = b”, etc. unabhängige Zeichen sind & nur insofern zusammenhängen als eben die Zeichen „Taut.” & „Cont.”. Die Frage ist hier die nach der Nützlichkeit der „extensiven” Funktionen, denn die Ramsey'sche Erklärung des Gleichheitszeichens ist ja so eine Bestimmung durch die Extension. Welcher Art ist || Worin besteht nun so eine || die extensive Bestimmung einer Funktion? Sie ist offenbar eine Gruppe von Definitionen. Z.B. die:
fa = p Def
Diese Definitionen erteilen uns die Erlaubnis statt der uns
bekannten Sätze „p”, „q”, „r” die Zeichen
„fa”, „fb”,
„fc” zu setzen.
Zu sagen, durch diese drei Definitionen
fb = q Def fc = r Def Denn die Zeichen „fa”, „fb”, „fc” sind die gleiche Funktion dreier Argumente || Funktion & Argument nurinsofern als || , sofern es auch die Wörter „Ko(rb)”, „Ko(pf)” & „Ko(hl)” sind. (Es macht dabei keinen Unterschied, ob die „Argumente” „rb”, „pf”, „hl” sonst noch als Wörter gebraucht werden, oder nicht.) (Welchen Zweck also die Definitionen haben können, außer den, uns irrezuführen, ist schwer einzusehn.) Das Zeichen „(∃x) ∙ fx” heißt zunächst gar nichts; denn die Regeln für Funktionen im alten Sinn des Wortes gelten ja hier nicht. Für diese wäre eine Definition fa = … Unsinn. Das Zeichen „(∃x) ∙ fx” ist, wenn keine ausdrückliche Erklärung dafür gegeben wird, nur wie ein Rebus zu verstehen, in welchem auch die Zeichen eine Art uneigentlicher || uneigentliche Bedeutung haben. Jedes der Zeichen „a = a”, „a = c”, etc. in den Definitionen (a = a) ≝ Taut., etc. ist ein Wort. Der Endzweck der Einführung der extensiven Funktionen war übrigens, das Arbeiten mit unendlichen || die Analyse von Sätzen über unendliche Extensionen & dieser Zweck ist verfehlt, da eine extensive Funktion durch eine Liste von Definitionen eingeführt wird. |
Wenn man wissen will was
„2 + 2 =
4”
|
1.12.
Die Erklärung von (∃x) ∙ φx
als einer logischen Summe &
(x) ∙ φx
als logischem Produkt kann natürlich nicht aufrecht
erhalten werden. Sie hing mit einer falschen
Auffassung der logischen Analyse zusammen
indem ich etwa dachte das logische Produkt für ein
(∃x) ∙ φx
: φa = φa &
(∃x) ∙ φx
: φa ⌵ φb =
φa ⌵ φb |
Aus diesen Regeln ergeben sich dann die Grundgesetze
Russells
φx . ⊃ .
(∃Z).φZ &
φx ⌵ φy
. ⊃ .
(∃Z).φZ als Tautologien. |
Das Wesen des „logischen Gesetzes” ist es ja,
daß es im Produkt mit irgend einem Satz
diesen Satz ergibt. Und man könnte den Kalkül
Russells
p ⊃ p:q =
q p:p ⌵ q =
p etc.
Für (∃x) ∙ φx, etc. brauchen wir auch die Regeln (∃x)φx ⌵ ψx
= (∃x) φx ⌵
(∃x)ψx
(∃x,y) φx ∙ ψy
. ⌵ .
(∃x) φx ∙ ψx =
(∃x) φx ∙
(∃x) ψx Jede
solche Regel ist ein Ausdruck der Analogie zwischen
(∃x) φx
& einer logischen Summe. |
2.
Definitionen zur
Abkürzung:(∃x) φx:
~(∃x,y) φx ∙ φy ≝
(εx) φx (∃x,y) φx ∙ φy:
~(∃x,y,z) φx ∙ φy ∙ φz
≝
(εx,y) φx ∙ φy u.s.w. (Ɛx) φx ≝
(Ɛx) φx (Ɛx,y) φx ∙ φy = (Ɛ❘ ❘x) φx = (Ɛ2x) φx u.s.w. |
Man kann zeigen, daß
(Ɛ❘ ❘x) φx . (Ɛ❘ ❘ ❘x) ψx . ~ (∃x) φx . ψx . ⊃ . (Ɛ ❘ ❘ ❘ ❘ ❘x) φx ⌵ ψx(Ƒ) eine Tautologie ist. Daher hat die Gleichung ❘ ❘ + ❘ ❘ ❘ = ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ nur dann einen Witz, wenn das |
Zu sagen
„4 Gegenstände und 4 Gegenstände sind 8
Gegenstände” heißt nichts; & ebensowenig
„4 Äpfel + || & 4 Äpfel = || sind 8 Äpfel”, außer wenn damit der Erfahrungssatz ausgesprochen sein soll, daß 8 Äpfel auf dem Tisch liegen, wenn man zuerst 4 Äpfel & dann nocheinmal 4 hingelegt hat. Die Gleichung der Arithmetik, dagegen, heißt 4 + 4 = 8. Ihre Ziffern sind wesentlich unbenannt. Sie sind es auch dann, wenn man mit den Fingern, mit Strichen, oder den Kugeln der Rechenmaschine rechnet, denn dann sind diese Dinge nicht das worüber etwas ausgesagt wird sondern die Zeichen. Es ist also Unsinn zu fragen, ob vier Gegenstände auch dann 2 + 2 Gegenstände sind, wenn sich nicht je 2 unter einen Begriff bringen lassen || nicht je 2 unter einen Begriff fallen. |
Mein
Standpunkt unterscheidet sich dadurch vom Standpunkt der Leute die
heute über die Grundlagen der Arithmetik schreiben, daß ich es
nicht nötig habe einen bestimmten Kalkül z.B. den
des Dezimalsystems zu verachten. Einer
|
Wenn man in der Logik scheinbar
mehrere verschiedene Universen
betrachtet (wie Ramsey), so betrachtet man
in Wirklichkeit verschiedene Spiele. Die
Erklärung eines „Universums”
würde z.B. in Ramseys Fall einfach die || eine
Definition (∃x) φx ≝ φa ⌵ φb ⌵ φc ⌵ φd sein. |
Man könnte
übrigens wirklich eine Notation
für
(∃x) ∙ φx
einführen in der man es durch ein Zeichen
„φα ⌵ φβ ⌵ φγ ⌵
…” ersetzt & dürfte dann damit
rechnen wie mit einer logischen Summe;
es müßten aber die Regeln vorgesehen sein nach denen
ich diese Notation immer in die von
„(∃x) ∙ φx”
zurücknehmen kann & die also das Zeichen
„φa ⌵ φb ⌵ φc ⌵ …”
von dem einer logischen Summe unterscheiden. Der
Zweck dieser Notation wäre nur der, in gewissen
Fällen leichter mit (∃x) φx
rechnen zu können. |
Der Satz „die Relation
R verbindet zwei
Gegenstände mit einander”
wenn das soviel heißen soll, wie
„R ist eine zweistellige
Relation” ist ein Satz der Grammatik. |
Ich sagte früher, es sei Unsinn ¤ zu sagen:
„4 Äpfel Man muß sich aber davor hüten zu glauben die Gleichung „4 Äpfel & 4 Äpfel = 8 Äpfel” ist die konkrete Gleichung, dagegen 4 + 4 = 8 der abstrakte Satz wovon die erste Gleichung nur eine spezielle Anwendung ist. Sodaß zwar die Arithmetik der Äpfel viel weniger allgemein ist als die eigentliche allgemeine, aber eben in ihrem beschränkten Bereich (für Äpfel) gälte. – Es gibt aber keine „Arithmetik der Äpfel”, denn „4 Äpfel & 4 Äpfel = 8 Äpfel” ist nicht ein Satz, der von Äpfeln handelt. Man kann sagen daß in dieser Gleichung das Wort „Äpfel” keine Bedeutung hat. (Wie man es überhaupt von einem || dem Zeichen in einer Zeichenregel sagen kann, die seine Bedeutung bestimmen hilft.) |
3.
Die Zahlen sind der Mathematik nicht fundamental, wie ich
seinerzeit glaubte. |
Die 0 ist
keine der Kardinalzahlen denn „es ist ein || 1
Mensch im Zimmer” ist vereinbar mit „es sind 2
Menschen im Zimmer” & das mit „es sind 3
Menschen |
Die Reihe von Sätzen (∃x): aRx ∙ xRb (∃x,y): aRx ∙ xRy ∙ yRb (∃x,y,z): aRx ∙ xRy ∙ yRz ∙ zRb u.s.f. kann man sehr wohl so ausdrücken: „es gibt ein Glied
zwischen a & b” „es gibt 2 Glieder zwischen a & b” etc.
und kann das etwa schreiben (∃1x)
aRxRb, (∃2x) aRxRb,
etc. Es ist aber klar daß zum
Verständnis dieser Ausdrücke die obere
Erklärung nötig ist weil man sonst nach
Analogie von (∃2x) ∙ φx
=
(∃x,y) φx ∙ φy
glauben könnte (∃2x) aRxRb
sei gleich || gleichbedeutend einem Ausdruck
(∃x,y)
aRxRb ∙ aRyRb. Ich könnte natürlich auch statt „(∃x,y)F(x,y)” schreiben „(∃2x || x,y)F(x,y)”. Aber die Frage wäre nun: was habe ich dann unter „(∃3x || x,y)F(x,y)” zu verstehen? Aber hier läßt sich eine Regel geben; & zwar brauchen wir eine die uns in der Zahlenreihe beliebig weiter führt. Z.B. die: (∃3x,y)F(x,y) = (∃x,y,z):F(x,y) ∙ F(x,z) ∙ F(y,z) (∃4x,y)F(x,y) = (∃x,y,z,u):F(x,y) ∙ F(x,z) … es folgen die Kombinationen zu zwei Elementen. (∃3x || x,y) ∙ F(x,y) = (∃x,y,z)F(x,y) ∙ F(y,x) ∙ F(x,z) ∙ F(z,x) ∙ F(y,z) ∙ F(z,y) u.s.f.
[In allen diesen Erklärungen hätte ich richtiger
schreiben sollen (∃3x,y)F(x,y) statt (∃3x)F(x,y)] „(∃3x) ∙ F(xy) entspräche etwa dem Satz der Wortsprache „F(x,y) wird von 3 Dingen befriedigt” & auch dieser Satz bedürfte einer Erklärung um eindeutig zu werden. Soll ich nun sagen, daß in den || diesen verschiedenen Fällen das Zeichen „3” eine andere || verschiedene Bedeutung hat? Drückt nicht vielmehr das Zeichen „3” das aus, was den verschiedenen Interpretationen gemeinsam ist? Warum hätte ich es sonst gewählt. Es gelten ja auch die gleichen Regeln von dem Zeichen „3” in dieser & in jener Verwendung. || in jedem dieser Zusammenhänge. Es ist nach wie vor durch 2 + 1 zu ersetzen; etc.. Allerdings aber ist ein Satz nach dem Vorbild von Ɛ❘ ❘ ∙ Ɛ❘ ❘ ❘ ⊃ Ɛ❘ ❘ ❘ ❘ ❘ nun keine Tautologie. (2 Menschen die mit einander in Frieden leben & 3 weitere Menschen die miteinander im Frieden leben geben nicht 5 Menschen die mit einander in Frieden leben.) Aber das heißt nicht daß nun 2 + 3 nicht 5 ist. Vielmehr läßt sich die Addition nur nicht so anwenden. Wird sie aber Mit andern Worten die Zeichen von der Form (∃1x,y)F(x,y), (∃2x,y)F(x,y) (∃3x,y)F(x,y) etc. haben die Multiplizität der Kardinalzahlen wie die Zeichen (∃1x) φx, (∃2x) φx, etc. & wie auch die Zeichen (ε1x) φx, (ε2x) φx etc.. |
Von
einem Teil meines Gesichtsfeldes zu sagen, er habe keine Farbe,
ist Unsinn; ebenso – natürlich auch – zu sagen,
er habe Farbe (oder eine Farbe). Wohl aber || Anderseits hat es Sinn zu sagen, er
habe nur eine Farbe (sei einfärbig oder
gleichfärbig), er habe mindestens zwei Farben, nur
zwei Farben, u.s.w..
Ich kann also in dem Satz „dieses Viereck in meinem Gesichtsfeld hat mindestens zwei Farben” statt „zwei” nicht „eine” substituieren. Oder auch: „das Viereck hat nur eine Farbe” heißt nicht – analog (∃x) φx ∙ ~(∃x,y) φx ∙ φy – „das Viereck hat eine Farbe, aber nicht zwei Farben”. Ich rede hier von dem Fall, in dem || welchem es sinnlos ist zu sagen, „der Teil des Raumes habe || hat keine Farbe”. Wenn ich die gleichfärbigen (einfärbigen) Flecke in dem Viereck zähle so hat es übrigens Sinn zu sagen es seien keine solchen vorhanden, wenn die Farbe des Vierecks sich kontinuierlich ändert. Es hat dann natürlich Was meint man wenn man sagt „der Raum ist färbig”? (Und: eine sehr interessante Frage: welcher Art ist diese Frage?) Nun man sieht etwas zur Bestätigung herum & blickt auf die verschiedenen Farben um sich her & möchte etwa sagen: wohin ich schaue ist eine Farbe. Oder: Es ist doch alles färbig, alles sozusagen angestrichen. Zur Bestätigung des Satzes „der Gesichtsraum ist färbig” sieht man sich (etwa) um & sagt: das hier ist schwarz & schwarz ist eine Farbe; das ist weiß & weiß ist eine Farbe; u.s.w. „Schwarz ist eine Farbe” aber faßt Mache ich es sinnlos zu sagen ein Teil des Gesichtsraumes habe keine Farbe so wird die (Frage nach der) Analyse der Angabe der Zahl der Farben in einem Teil des Gesichtsraumes ganz ähnlich der der Angabe der Zahl der Teile eines Vierecks, etwa, daß ich durch Striche in begrenzte Flächenteile teile. Auch hier kann ich es als sinnlos ansehen zu sagen, das Viereck „bestehe aus 0 Teilen”. Man kann daher nicht sagen es bestehe „aus einem oder mehreren Teilen” oder es „habe mindestens einen Teil”. Denken wir uns den speziellen Fall eines Streifens, der || Vierecks, das durch parallele Striche geteilt ist. Daß dieser Fall sehr speziell ist macht (uns) nichts denn wir halten ein Spiel nicht für weniger bemerkenswert, weil es nur eine sehr beschränkte Anwendung hat. (Ƒ) Ich kann hier die Teile entweder so zählen wie es gewöhnlich geschieht, & dann heißt es nichts zu sagen es seien 0 Teile vorhanden.
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Wie soll man nun den Satz auffassen
„diese Hüte haben die gleiche Größe”
oder „diese Stäbe haben die
gleiche Länge” oder „diese Flecke haben die
gleiche Farbe”? Soll man sie in der Form
schreiben: „(∃L)La ∙ Lb”? Aber wenn das in der gewöhnlichen Weise gemeint wird also mit den gewöhnlichen Regeln gebraucht wird, so müßte es ja dann Sinn haben zu schreiben „(∃L)La” also „der Fleck a hat eine Farbe”, „der Stab Nehmen wir als Beispiel auch den Satz „in den beiden Kisten |
Denken wir uns eine Rechenmaschine die anstatt mit Kugeln,
mit Farben in einem Streifen rechnet. Und während wir
jetzt auf unserm Abakus mit Kugeln oder den
Fingern die Farben in einem Streifen zählen, so würden
wir dann die Kugeln auf einer Stange oder die Finger an unsrer Hand
mit Farben in einem Streifen zählen. Wie aber
müßte diese Farbenrechenmaschine konstruiert sein um
funktionieren zu können? Wir brauchten ein Zeichen
dafür daß keine Kugeln an der Stange
|
Denken wir
uns Jemand, der alle || die Formen in diesem
Zimmer dadurch beschreibt indem er sie mit
ebenflächigen geometrischen Formen
|
Die Schwierigkeit daß
„(∃n) ∙ φn”
sinnlos ist könnte man übrigens aus dem Weg schaffen
indem man es bedeuten läßt, daß φ eine Anzahl
größer als In allen den Fällen: „Einer der vier Füße dieses Tisches hält nicht”, „Es gibt Engländer mit schwarzen Haaren”, „Auf dieser Wand ist ein Fleck”, „die beiden Töpfe haben das gleiche Gewicht”, „Auf beiden Seiten stehen gleichviel Wörter” – wird in der Russellschen Notation das „(∃ …) …” gebraucht; & jedesmal mit anderer Grammatik. Damit will ich also sagen daß mit einer Übersetzung so eines Satzes aus der Wortsprache in die Russellsche Notation nicht viel gewonnen ist. Will man den Satz „die Begriffe φ & ψ werden von der gleichen Anzahl von Dingen befriedigt” || „unter φ & ψ fallen gleichviele Gegenstände” in übersichtlicher Notation schreiben so ist man vor allem versucht ihn in der Form „φn ∙ ψn” zu schreiben. Und ferner empfindet man das nicht als logisches Produkt (Es würde also auch nicht aus φn ∙ ψn φn folgen. ‚φn ∙ ψn’ verhält sich vielmehr zu einem logischen Produkt ähnlich wie der Differentialquotient zu einem Quotienten.) Es ist so wenig ein logisches Produkt, wie die Photographie einer Familiengruppe eine Gruppe von Photographien ist. Darum kann uns also die Form „φn ∙ ψn” leicht irreführen & es wäre vielleicht eine Schreibweise von der Art φn ∙ ψn(Ƒ) vorzuziehen, aber auch „(∃n) φn ∙ ψn” wenn die Grammatik dieses Zeichens festgelegt ist. Man kann dann festlegen (∃n) φn = taut. was soviel heißt wie (∃n) φn ∙ p = p. Also (∃n) φn ⌵ ψn = taut., (∃n) φn ⊃ ψn = taut. (∃n) φn ∣ ψn = cont. etc. φ1 ∙ ψ1 ∙ (∃n) φn ∙ ψn = φ1 ∙ (∃n) φn ∙ ψn φ2 ∙ ψ2 ∙ (∃n) φn ∙ ψn = φ2 ∙ (∃n) φn ∙ ψn etc. ad inf.
Und überhaupt sind die RechnungsregelnEs ist klar daß dies keine logische Summe ist, da „u.s.w. ad inf.” kein Satz ist. Die Notation (∃n) φn ∙ ψn ist aber auch nicht unmißverständlich; denn man könnte sich wundern warum man hier statt φn ∙ ψn nicht Φn sollte setzen können & dann sollte ja „(∃n) Φn” nichtssagend werden. Das klärt sich natürlich auf wenn man auf die Notation ~(∃x) φx für φ0, (∃x) ∙ φx ∙ ~(∃x,y) φx ∙ φy für φ1, etc. zurückgeht beziehungsweise auf (∃n0x) φx für φ0, (∃n1x) φx für φ1 etc.. Denn dann ist zu unterscheiden zwischen (∃n1x) φx ∙ (∃n1x) ψx & (∃n1x) φx ∙ ψx. Und geht man auf (∃n) φn ∙ ψn über so bedeutet das (∃n): (∃nnx) φx ∙ (∃nnx) ψx (welches nicht nichtssagend ist) & nicht (∃n): (∃nnx) φx ∙ ψx welches nichtssagend ist. |
Die Worte „gleichzahlig”,
„längengleich”, |
Wenn es sich um
Flecke im Gesichtsraum handelt die wir zugleicherzeit sehen so
hat das Wort „gleichlang” verschiedene Bedeutung
jenachdem die Strecken unmittelbar angrenzend oder
von einander entfernt sind.
|
Die
Gleichzahligkeit wenn es sich um eine Anzahl von Strichen
handelt „die man übersehen kann” ist eine
andere als die welche nur durch Zählen
der Striche festgestellt werden kann. |
Im Fall der
Längengleichheit im Euklidischen
Raum mag man sagen, sie bestehe darin daß beide Strecken die
gleiche Anzahl || Zahl von cm messen, beide 5
cm beide 10 cm, etc. Wenn es
sich aber um die Längengleichheit zweier
Strecken im Gesichtsraum handelt, so gibt es hier nicht eine
Länge 𝓁 die beide haben. |
Man
möchte sagen: zwei Stäbe müssen immer entweder
gleichlang oder verschieden lang sein. Aber was heißt
das? Es ist natürlich eine Regel der
Ausdrucksweise. „In den zwei Kisten müssen
entweder gleichviel Äpfel oder verschiedene Anzahlen
sein”. Das Anlegen zweier Maßstäbe an je
einen Stab || eine
Strecke soll die Art sein || Methode sein
wie ich herausfinde, ob die beiden Strecken gleichlang sind:
sind sie aber gleich lang wenn die
beiden Maßstäbe gerade nicht
angelegt sind? Wir würden in diesem Fall
sagen, wir wissen nicht ob die beiden während dieser Zeit gleich
oder verschieden lang sind. Aber man könnte auch
sagen, sie haben während dieser Zeit keine Längen oder etwa
keine numerischen Längen. |
Ähnliches wenn auch nicht das gleiche gilt von der
Zahlengleichheit. |
Es gibt
hier die Erfahrung daß wir eine Anzahl Punkte sehen deren Anzahl
wir nicht unmittelbar sehen können die wir
|
16.2.
Wenn man bei geschlossenen Augen ein Flimmern sieht, unzählige
Lichtpünktchen die kommen & verschwinden, –
wie man es etwa beschreiben würde – so hat es keinen
Sinn hier von einer ‚Anzahl’ der zugleich gesehenen
Pünktchen zu reden. Und man kann nicht sagen
„es sind immer eine bestimmte Anzahl von
Lichtpünktchen da, wir wissen sie bloß
nicht”; dies entspräche einer Regel die dort
angewandt wird, wo von einer Kontrolle dieser Anzahl
gesprochen werden kann. |
Russells
Erklärung der Gleichzahligkeit ist aus verschiedenen
Gründen ungenügend. Aber die Wahrheit ist
daß man in der Mathematik keine solche Erklärung der
Was uns verführt, die Russellsche, oder Fregesche, Erklärung anzunehmen, ist der Gedanke, zwei Klassen von Gegenständen (Äpfeln in zwei Kisten) seien gleichzahlig, wenn man sie einander 1–1 zuordnen könne. Man denkt sich die Zuordnung als eine Kontrolle der Gleichzahligkeit. Und hier macht man in Gedanken wohl noch eine Unterscheidung zwischen Zuordnung & Verbindung durch eine Relation; & zwar wird die Zuordnung zur Verbindung was die „geometrische” Gerade zu einer wirklichen ist, eine Art idealer Verbindung; einer Verbindung die quasi von der Logik vorgezeichnet ist & durch die Wirklichkeit nun nachgezogen werden kann. Es ist die Möglichkeit aufgefaßt als eine schattenhafte Wirklichkeit. Dies hängt dann wieder mit der Auffassung von „(∃x) ∙ φx” als Ausdruck der Möglichkeit von φx zusammen. „φ & ψ sind gleichzahlig” (ich werde dies schreiben „S(φ ∙ ψ)” oder „x = a ∙ y = b . ⌵ . x = c ∙ y = d . ⌵ . u.s.w.” |
Aber, erstens, warum definiert man
dann nicht gleich S als das Bestehen einer solchen
Relation. Und wenn man darauf antwortet, diese
Definition || Erklärung würde die
Gleichzahligkeit bei unendlichen
Anzahlen nicht einschließen so ist zu sagen daß
dies nur auf eine Frage der „Eleganz”
hinausläuft, da ich letzten Endes für endliche Zahlen meine Zuflucht doch zu
den „extensionalen” Beziehungen nehmen
müßte. Aber diese führen uns auch zu
nichts: denn, zu sagen, zwischen
φ &
ψ bestehe eine Beziehung
– z.B. – der Form
x = a ∙ y = b ⌵ x
= c ∙ y = d sagt nichts andres als
(∃x,y) φx ∙ φy ∙ ~(∃x,y,z) φx ∙ φy ∙ φz: (∃x,y) ψx ∙ ψy ∙ ~(∃x,y,z) ψx ∙ ψy ∙ ψz. (Was ich in der Form schreibe (∃n2x) φx ∙ (∃n2x) ψx. Und, zu sagen, zwischen φ & ψ bestehe eine der Beziehungen x = a ∙ y = b; x = a ∙ y = b . ⌵ . x = c ∙ y = d; etc. etc., In dem Sinne von S also in welchem S aus φ5 ∙ ψ5 folgt, wird es durch die Russellsche Erklärung nicht erklärt. Vielmehr braucht man da eine Reihe von Erklärungen
φ0 ∙ S = φ0 ∙ ψ0 = ψ0 ∙ S
Dagegen wird
π als Kriterium der
Gleichzahligkeit gebraucht & kann natürlich in einem
andern Sinne von S auch S gleichgesetzt
werden. (Und man φ1 ∙ S = φ1 ∙ ψ1 = ψ1 ∙ S }(Ƒ) ‒ ‒ ‒ α etc. ad inf. Es folgt zwar nicht π aus φ5 ∙ ψ5 wohl aber φ5 ∙ ψ5 aus π ∙ φ5. π ∙ φ5 =
π ∙ φ5 ∙ ψ5 =
π ∙ ψ5 Also kann man
schreiben u.s.w.
π ∙ φ0 = π ∙ φ0 ∙ ψ0 = π ∙ φ0 ∙ S
π ∙ φ1 = π ∙ φ1 ∙ ψ1 = π ∙ φ1 ∙ S }(Ƒ) ‒ ‒ ‒ β π ∙ φ2 = π ∙ φ2 ∙ ψ2 = π ∙ φ2 ∙ S u.s.w. ad inf. Und dies kann man dadurch ausdrücken daß man sagt die Gleichzahligkeit folge aus π. Und man kann auch die Regel geben π ∙ S =
π die mit den Regeln
β || , oder der Regel, β &
α || & der Regel α
übereinstimmt. |
Wenn Einer sagt „der
Gesichtsraum ist farbig”, so schauen wir uns um
& schauen uns die Farben um uns an, als wenn er gesagt
hätte „schau Dir dieses Buch an”, oder
„schau Dir die Form dieser Vase
an”. |
Wenn Einer
konstatieren wollte „der
Raum || Gesichtsraum ist farbig”, so
wären wir versucht ihm zu
antworten: |
Es läßt sich kein rationaler Grund
angeben weshalb wir denken müssen. |
Die Regel „Aus π folgt
S” also π ∙ S = π
könnte man auch ganz gut Schreibt man S in der Form φ0 ∙ ψ0 . ⌵ . φ1 ∙ ψ1 . ⌵ . φ2 ∙ ψ2 . ⌵ . … ad inf. so kann man mit grammatischen Regeln die der gewohnten Sprache entsprechen leicht π ∙ S = π ableiten. Denn (φ0 ∙ ψ0 . ⌵ . φ1 ∙ ψ1 etc. ad inf.) ∙ π = φ0 ∙ ψ0 ∙ π ⌵ φ1 ∙ ψ1 ∙ π ⌵ etc. ad inf.) = φ0 ∙ π ⌵ φ1 ∙ π ⌵ φ2 ∙ π ⌵ etc. ad inf. = π ∙ (φ0 ⌵ φ1 ⌵ φ2 ⌵ etc. ad inf. = π. Der Satz „φ0 ⌵ φ1 ⌵ φ2 ⌵ etc. ad inf.” muß als Tautologie behandelt werden. |
|
Der Philosoph spürt Wechsel im Stil
einer Ableitung, an denen der Mathematiker von
heute, mit seinem stumpfen Gesicht ruhig
vorübergeht. – Eine höhere
Sensibilität ist es eigentlich, was den Mathematiker der
Zukunft von dem heutigen unterscheiden wird; &
die wird die Mathematik – gleichsam – stutzen;
weil man dann mehr auf die absolute Klarheit als auf
ein || das Erfinden neuer Spiele bedacht sein
wird. |
Regel
& Erfahrungssatz. Ist eine Regel ein
Erfahrungssatz – etwa über den Gebrauch der
Sprache? Ist eine Regel des Schachspiels ein Satz
darüber wie die Menschen seit dem Ereignis der Erfindung
17. &Die Regel ist die Festsetzung des Maßes || der Maßeinheit, || setzt die Maßeinheit fest, & der Erfahrungssatz sagt, wie lang der || ein Gegenstand ist. (Und hier sieht man wie logische Gleichungen || Gleichnisse funktionieren, denn die Festsetzung der Maßeinheit ist wirklich eine grammatische Regel & die Angabe einer Länge in dieser Maßeinheit ein Satz, der von der Regel Gebrauch macht.) |
Wenn man die Regel
dem Satz beifügt, so ändert sich der Sinn
Die Legende zu einer Landkarte ist so eine Anweisung zum Gebrauch der Sprache – oder zum Verständnis – einer Beschreibung. |
¥Das Lehren der
Philosophie hat dieselbe ungeheure Schwierigkeit welche der
Unterricht in der Geographie hätte wenn der Schüler eine
Menge falsche & viel zu einfache || & falsch vereinfachte Vorstellungen über den
Lauf & Zusammenhang der Flüsse & Gebirge || Flußläufe &
Gebirgsketten mitbrächte. |
⍈Diese Legende sagt
jedenfalls nichts über die Geographie des Landes aus.
Sowenig wie der Satz „1 m ist die Länge des
Urmeters in Paris” etwas über die
Länge eines Gegenstandes aussagt || die
Länge eines Gegenstandes
beschreibt. |
Ferner muß sich die
Regel auf die Anwendung in der Beschreibung (der
Wirklichkeit) beziehen. Denn was hat
es für einen Sinn von einem Stab zu sagen „das
Insofern könnten wir uns die Regel jedem Satz beigefügt denken. Die Regel ist eine Art vorgezeichneter Route; ein vorgezeichneter Weg. Man könnte sich in einem Wald Spazierwege markiert denken, zu dem Zweck daß sich die Menschen über Spaziergänge im Wald verständigen können. Aber täte es für diesen Zweck nicht auch irgendein Koordinatensystem? |
18.
∣ Die Menschen sind tief in den philosophischen
i.e. grammatischen Konfusionen
eingebettet. & || Und sie
daraus zu befreien setzt voraus, daß man sie aus den
ungeheuer mannigfachen Verbindungen
herausreißt in denen sie gefangen
sind. Man muß sozusagen ihre ganze Sprache
umgruppieren. – Aber
diese Sprache ist ja so entstanden || geworden weil Menschen die Neigung hatten –
& haben – so zu denken. Darum geht
das Herausreißen nur bei denen die in einer instinktiven
Auflehnung gegen die || Unbefriedigung
mit der Sprache leben. Nicht bei
denen, die ihrem ganzen Instinkt nach in der
|
Die Regel möchte
ich ein Instrument nennen. |
∣ „Die Grammatik aufklären” heißt sie
in || auf die Form eines Spiels mit Regeln bringen.
∣ |
∣ Ein Spiel könnte so gehen: man macht
faustgroße Kugeln aus Lehm & rollt sie in
der & der Weise etc. Die Angabe daß
es faustgroße Kugeln sein sollen
entspricht ganz der Angabe daß irgendwo ein ‚Haufen’ Sand ist || ein
‚Haufen’ Sand dort & dort ist;
& man sieht daß die besondere Unbestimmtheit dieser
Angabe sehr wohl in Regeln eintreten kann. ∣
|
Ich will jemandem die Form eines Linienzugs
beschreiben & gebe zuerst die Regel (der Darstellung)
Denn, können wir nicht wirklich statt ‚a a c b d d’ schreiben
|
Das zeigt
übrigens die Beweglichkeit || Elastizität eines || des Begriffs der Sprache; denn hier hätten wir eine
Sprache ohne Grammatik da die Grammatik den Sätzen
beigefügt ist. |
Wenn eine Regel ein Satz ist, dann wohl
einer, der von den Wörtern der Sprache handelt. Aber
was sagt so ein Satz von den Wörtern aus? Daß sie
in dem & dem Zusammenhang gebraucht werden? Aber
von wem & wann? Oder, daß jemand wünscht
daß sie so gebraucht werden? Und wer? –
Vielmehr ist die Regel von allen diesen Aussagen ein
Teil. |
Verhält es sich mit einer Grammatischen Regel wie mit
einem Gesetz im Staat? Ist es nicht
von so einem Gesetz wahr, daß es nichts darüber aussagt
was geschieht noch auch sagt daß jemand wünscht daß so
& so gehandelt werde. |
20.
Die Regel „links gehen!”
oder einfach ein Pfeil. Wie, wenn ich mir in meinem Zimmer
einen Pfeil an die Wand malte, – wäre der auch der Ausdruck
eines Gesetzes, wie es der Pfeil
auf einem Bahnhof wohl sein könnte? Um ihn zu einem
Gesetz zu machen, gehört doch || wohl noch der übrige Apparat dessen einer Teil
der Pfeil nur ist.
(Sraffa) Ein Ingenieur baut eine Brücke; er schlägt dazu in mehreren Handbüchern nach; in technischen Handbüchern & in juridischen. Aus den einen erfährt er daß die Brücke zusammenbrechen würde wenn er dieses Teil schwächer machen würde als etc. etc.; aus den andern daß er eingesperrt würde wenn er sie so & so bauen würde. – Stehen nun die beiden Bücher nicht auf gleicher Stufe? – Das kommt drauf an was für eine Rolle sie in seinem Leben spielen. Das juridische Nein; denn wenn er handelt als ob ihn jemand zwänge so ist doch seine Handlung jedenfalls Wirklichkeit & auch die Vorstellungsbilder die er etwa dabei hat sind nicht Irrtümer; & er braucht sich in nichts irren & kann doch handeln wie er handelt & sich auch vorstellen, was er sich etwa vorstellt. |
Der
Sinn der Sprache ist nicht durch ihren Zweck bestimmt.
Oder: was man den Sinn, die Bedeutung, in der Sprache nennt,
ist nicht ihr Zweck. |
Die
Regel – wie ich sie verstehe – ist wie ein Weg in
einem Garten. Oder wie die vorgezeichneten Felder auf
einem || dem Schachbrett oder die Linien einer
Tabelle. Von diesen Linien etc. wird man
nicht sagen, daß sie uns etwas mitteilen (obwohl sie
ein Teil einer Mitteilung sein
können – ja auch selbst
Mitteilungen). Ich lege in einer Abmachung
Ich könnte auch so sagen: Ich will nur das mitteilen, was der Satz der Sprache mitteilt; & die Regel ist nichts als ein Hilfsmittel dieser Mitteilung¤ (so wie ich sie, die Regel verstehe). Schon deshalb darf || kann die Regel nicht selbst eine Mitteilung sein; denn sonst würde der Sinn des Satzes irgendwie zugleich den Sinn der Mitteilung über den Sprachgebrauch beinhalten. Wir müssen uns vergegenwärtigen wie wir in der Philosophie, d.h. beim Klären grammatischer Fragen, wirklich von Regeln reden; – damit wir auf der Erde bleiben & nicht nebelhafte Konstruktionen machen || bauen. Ich gebe z.B. Regeln wie: (∃x)
φx ⌵ φa ⌵ φb =
(∃x).φx oder
~~p =
p(Ƒ) 21.
Wie schaut nun so eine Notation aus? Nun, in den meisten Fällen werde ich Sätze der alten Notation (etwa der Wortsprache) in die entsprechenden Sätze der neuen Schreibweise übersetzen; etwa indem ich schreibe
etc. Die Regel entspricht
aber in gewissem Sinne dem was man eine „Annahme”
genannt Sie könnte, glaube ich, verglichen werden mit dem Plan eines Hauses „Ich meine einer Zeichnung die als Plan eines Hauses gebraucht werden kann, der aber kein existierendes Haus entspricht & von der auch nicht gesagt wird daß ihr einmal eines entsprechen soll, etc.. |
∣ Das Rätselhafte am Kontinuum ist wie das
Rätselhafte der Zeit für Augustinus dadurch bedingt daß
wir durch die Sprache verleitet werden
ein Bild auf sie anzuwenden das nicht
paßt. Die Mengenlehre behält das unpassende Bild
des Diskontinuierlichen bei, aber sagt diesem
Bilde Widersprechendes von ihm aus mit der
Idee mit Vorurteilen zu brechen. Während
|
Die Beschreibung einer neuen etwa
übersichtlicheren Notation (denn auf die
Übersichtlichkeit kommt es uns an) ist dann von der gleichen
Art wie die Beschreibung einer jener Sprachen die die Kinder
erfinden oder von einander lernen worin
etwa || z.B.
¤ jeder Vokal der gewöhnlichen
Sprache || Wörter verdoppelt & zwischen die
Teile der Verdoppelung ein b gestellt wird. Hier sind
wir ganz nah an's Spiel herangekommen. So eine
Beschreibung oder ein Regelverzeichnis kann man als Definiens des
Namens der Sprache oder des Spiels auffassen. Denken
wir auch an die Beschreibung etwa des Zeichnens, Konstruierens,
irgend einer Figur etwa eines Sternes (welches auch in Spielen
eine Rolle spielt). Sie lautet etwa so:
„Man zieht eine Gerade von A nach
B etc., etc.” || einem Punkt A nach einem Punkt B, etc.
etc.”. Diese
Das was hier irrezuführen scheint ist ein Doppelsinn des Wortes „Beschreibung” wenn man einmal von der Beschreibung eines wirklichen Hauses oder Baumes etc. spricht, einandermal || einmal von der Beschreibung einer Gestalt, Konstruktion etc., einer Notation, eines Spiels. Worunter aber eben nicht ein Satz gemeint ist der sagt daß ein solches Spiel irgendwo wirklich gespielt oder eine solche Notation wirklich verwendet wird; vielmehr steht die Beschreibung statt der hier gebrauchten Wörter „ein solches Spiel” & „eine solche Notation”. Die Beschreibung einer Notation fängt man charakteristischer Weise || charakteristisch oft mit den Worten an: „Wir können auch so schreiben: …”. Man könnte fragen: „was ist das für eine Mitteilung ‚wir können …’” etc.. Man schreibt auch etwa: „übersichtlicher wird unsere Darstellung wenn wir statt … schreiben … & die Regeln geben …”; & hier kommen die Regeln in einem Satz vor || stehen die Regeln in einem Satz. 22.
Welcher Art sind die Sätze eines Kochbuchs || die in einem Kochbuch stehen: „Man nehme 1 kg Mehl etc.”? (Hier kann man allerdings auch von falschen |
Denken wir uns etwa ein Bild
◇den Menschen einen Boxer in bestimmter Kampfstellung
darstellend. Dieses Bild kann nun dazu gebraucht werden um
jemandem mitzuteilen wie er stehen, sich halten, soll; oder wie er
sich nicht halten soll; oder wie ein bestimmter Mann dort
& dort gestanden ist; etc.
etc.. Man könnte dieses Bild ein
Satzradikal nennen. |
∣ Die Grammatik des Wortes
„dort & dort”. ∣ |
Ich bewege mich noch immer
nicht frei genug in der tatsächlichen Verwendung der
Sprache umher. Ich bin noch immer zu sehr von
vorgefaßten Schemata beeinflußt, – noch zu steif.
|
‚Regel’ ist in demselben Sinne ein Begriff
mit verschwommenen Rändern, wie ‚Blatt’
oder ‚Stiel’ oder ‚Tisch’,
etc.. |
Wenn man eine Notation beschreibt, sagt man
etwa: „ich will || werde in diesem
Buch statt „p oder
q”
„p ⌵ q”
schreiben”, & das ist natürlich ein kompletter
Satz. Das aber was ich ‚Regel’ nennen
will & etwa
„p oder q . = .
p ⌵ q” geschrieben wird, ist
keiner. – Was ich ‚Regel’ nenne,
soll nichts von einer bestimmten (oder auch unbestimmten) Zeit
oder einem Ort der Anwendung enthalten, sich auf keine
bestimmten (oder unbestimmten) Personen
beziehen; sondern nur Instrument der Darstellung sein.
Wir sagen nun: „wir gebrauchen die Wörter ‚rot’ & ‚grün’ in solcher Weise daß es als sinnlos gilt (kontradiktorisch ist) zu sagen am selben Ort sei zu gleicher Zeit rot & grün”. Und dies ist natürlich ein Satz, Erfahrungssatz über unsere tatsächliche Sprache. |
25.
Welcher Art nun sind die Regeln,
welche sagen daß die & die Zusammenstellungen von
Wörtern keinen Sinn haben? Sind sie von der Art
derjenigen Vorschriften || Regelungen, welche etwa sagen, daß es keine
Spielstellung im Schach ist, wenn zwei Figuren auf dem gleichen Feld
stehen, oder wenn eine Figur auf der Grenze zwischen zwei Feldern
steht, etc.? Diese
Was heißt es denn zu sagen: „diese Wortzusammenstellung heißt nichts”. Im Falle eines Namens || Von einem Namen kann man sagen „diesen Namen habe ich niemandem gegeben” & das Namengeben ist eine bestimmte Handlung (Umhängen eines Täfelchens). Denken wir an die Darstellung einer Reise auf der Erde durch eine Linie in der Projektion der zwei Halbkugeln & daß wir sagen: ein Linienstück das auf der Zeichenebene die Grenzbreite der Projektionen verläßt ist in dieser Darstellung sinnlos. Man könnte auch sagen: nichts ist darüber ausgemacht worden. |
Wer etwas dagegen hat, daß man sagt die Regeln der
Grammatik seien Spielregeln hat in dem Sinne recht, daß das
was das Spiel zum Spiel macht, die Konkurrenz von Spielern, der Zweck
der Unterhaltung & Erholung in der Grammatik abwesend
ist, etc.. Aber niemand wird leugnen,
Man sieht dann vor allem wie der Begriff des Spiels & damit der Spielregel ein an den Rändern verschwimmender ist. Ferners sieht man etwa Folgendes wenn man die Regeln z.B. des Schachspiels betrachtet: Es gibt hier Sätze die die Züge der einzelnen Figuren beschreiben, allgemeiner ausgedrückt Regeln über Spielhandlungen. Dann aber gibt es doch die Sätze die die Grundstellung beschreiben & solche die das Schachbrett beschreiben. |
Eine sehr
interessante Erwägung über die Stellung des
Zahlbegriffs in der Logik ist die: Wie ist || steht es mit dem Zahlbegriff, wenn ein Volk keine
Zahlwörter besitzt sondern sich statt dieser immer
eines Abakus bedient etwa einer
Russischen Rechenmaschine? || … sondern sich
zum Zählen, Rechnen, etc.
ausschließlich eines
Abakus bedient, etwa der
Russischen Rechenmaschine?
(Nichts wäre interessanter als die Arithmetik dieser Menschen zu untersuchen & man verstünde wirklich daß hier kein Unterschied zwischen 20 & 21 existiert || es hier keinen Unterschied zwischen 20 & 21 gibt.) |
Ich nehme an daß dieses Haus nicht in einer halben
Stunde zusammenstürzen wird. Wann nehme
ich das an? Die ganze Zeit? & was ist
dieses Annehmen für eine Tätigkeit? Heißt
es nicht zweierlei || das annehmen
nicht (wieder) zweierlei? Einmal
bezeichnet es eine hypothetische psychologische Disposition; einmal
den Akt des Denkens, Ausdrückens,
jenes Satzes || des Satzes „das Haus wird
nicht einstürzen”.
Im ersten Sinne ist das Kriterium dafür daß ich jene
Annahme mache || das annehme
Wenn man nun sagt: gewiß sind doch die Regeln der Grammatik, nach denen wir vorgehen & operieren nicht willkürlich, so müßte man zur Antwort fragen: Gut also, warum denkt denn ein Mensch wie er denkt? warum geht er denn durch diese Denkhandlungen? (gefragt ist hier natürlich nach den Gründen, nicht Ursachen). Nun, da lassen sich Gründe in dem Kalkül angeben; & ganz zum Schluß ist man dann versucht zu sagen: „es ist eben sehr wahrscheinlich, daß sich das Ding jetzt so verhalten wird, wie es sich immer verhalten hat” || daß das Ding jetzt das gleiche Verhalten zeigen wird, das es immer gezeigt hat”, – oder dergleichen. Eine Redensart, die den Anfang des Raisonnements verhüllt & hier || an diesem Anfang eine ähnliche Rolle spielt, wie der Schöpfer am Beginn || Anfang der Welt, der || welcher zwar in Wirklichkeit nichts erklärt aber ein den Menschen akzeptabler Anfang ist. || einen den Menschen akzeptablen Anfang macht. Das was so schwer einzusehen ist, ist, daß, solange wir ein Wahr-Falsch-Spiel spielen || im Bereich der Wahr-Falsch-Spiele bleiben, eine Änderung der Grammatik uns nur von einem solchen zu einem andern führen kann, aber nicht von etwas Wahrem zu etwas Falschem. |
Denken wir uns die
Tätigkeit in einem Haus in einer
Werkstätte. Da wird gehobelt, gesägt,
gestrichen, etc. etc.;
& außerdem gibt es da eine Tätigkeit die man rechnen
nennt & die sich scheinbar von allen den andern
unterscheidet || diesen unterscheidet, besonders, was
den || ihren Grund anbelangt. Wir
machen da etwa ein Bild. Die Tätigkeit des
Rechnens (Zeichnens etc.)
verbindet Teile der andern Tätigkeit. Er setzt
aus, rechnet etwas, dann mißt er & arbeitet mit dem Hobel
weiter. Er setzt auch manchmal aus um das Hobelmesser
zu schleifen; aber ist diese Tätigkeit analog der
andern des Kalkulierens? – „Aber Du
glaubst doch auch daß mehr
Kessel explodieren ¤
würden || Kesselexplosionen wären, wenn die
Kessel nicht berechnet würden”.
„Ja, ich glaube es; – aber was will das
sagen?” Folgt daraus, daß weniger sein
werden? Und was ist denn die Grundlage dieses
Glaubens? Wenn man nun nach dem Grund einer einzelnen Denkhandlung |
∣
Die Menschen welche kein Bedürfnis nach Durchsichtigkeit
ihrer Argumentation haben, sind für die Philosophie
verloren. ∣ |
Wenn
man fragt „warum gibst Du Eier in diesen Teig”, so
ist die Antwort etwa „weil der Kuchen dann besser
schmeckt”. Also, man hört || erfährt eine Wirkung & sie
wird als Grund gegeben. Wenn ich dem Holzblock eine bestimmte Form geben will, so ist der Hieb der richtige der diese Form erzeugt. – Ich nenne aber nicht das Argument das richtige, das die erwünschten Folgen hat. Vielmehr nenne ich die Rechnung falsch obwohl || auch wenn die Handlungen die dem Resultat entspringen zum gewünschten Ende führen || geführt haben. („Ich mach' den Haupttreffer & er will mich belehren”). Das zeigt, daß die Rechtfertigungen in den beiden Fällen verschieden sind, & also „Rechtfertigung” Verschiedenes in beiden bedeutet. In einem Fall kann man sagen: „Wart nur, Du wirst schon sehen, 26. Wenn man nun von der Willkürlichkeit der grammatischen Regeln spricht, so kann das nur bedeuten, daß es die Rechtfertigung, die in der Grammatik als solche gilt, nicht für die Grammatik gilt. Und wenn man das Rechnen aber || und nicht das Kochen dem Spiel vergleicht, so ist es eben aus || aus eben diesem Grund. Das ist aber auch der Grund, warum man das Kochen keinen Kalkül nennen würde. Wie ist es aber mit dem Aufräumen eines Zimmers, oder dem Ordnen eines Bücherschrankes, – oder dem Stricken eines bestimmten Musters? Diese Dinge kommen dem Spiel in irgend einer Weise näher. Ich glaube, der Grund, warum man das Kochen kein Spiel zu nennen versucht ist, ist der: Es gibt natürlich auch für das Kochen Regeln, aber „Kochen” bezeichnet nicht wesentlich eine Tätigkeit, nach diesen Regeln, sondern eine Tätigkeit die ein bestimmtes Resultat hat. Es ist z.B. eine Regel daß man Eier 3 Minuten lang kocht um weiche Eier zu erhalten, wird aber durch irgendwelche Umstände das |
27.
Die Regeln der Grammatik sind so
(d.h. in demselben Sinne)
willkürlich wie die Wahl einer Maßeinheit.
Aber das kann doch nur heißen daß sie
von der Länge des zu
Messenden unabhängig
ist. Und daß nicht die Wahl der einen Einheit
‚wahr’ der andern ‚falsch’ ist,
wie die Angabe der Länge wahr oder falsch ist. Was
natürlich nur eine Bemerkung über die Grammatik des Wortes
„Längeneinheit” ist.
Man ist versucht die Regeln der Grammatik durch Sätze zu rechtfertigen von der Art: „Aber es Kann man aber nicht doch in irgend einem Sinne sagen, daß die Grammatik der Farbwörter die Welt wie sie tatsächlich ist charakterisiert? Man möchte sagen: kann ich nicht wirklich vergebens nach einer fünften primären Farbe suchen? – (Und wenn man suchen kann, dann ist ein Finden denkbar.) Nimmt man nicht die primären Farben zusammen, weil sie eine Ähnlichkeit haben oder zum mindesten die Farben im Gegensatz z.B. von Formen oder Tönen weil sie eine Ähnlichkeit haben? Oder habe ich wenn ich diese Einteilung der Welt als die richtige hinstelle schon eine vorgefaßte Idee als Paradigma im Kopf? Von der ich dann etwa nur sagen kann: „ja, das ist die Weise || Art wie wir die Dinge betrachten”, oder „wir wollen eben ein solches Bild (von der Wirklichkeit) machen”. Wenn ich nämlich sage: „die primären Farben haben doch eine bestimmte Ähnlichkeit mit einander” – Die Wichtigkeit in einem Spiel liegt darin, daß wir dieses Spiel spielen. Daß wir diese Handlungen ausführen. Es verliert seine Wichtigkeit nicht dadurch daß es selbst nicht wieder eine Handlung in einem andern (übergeordneten) Spiel ist. Warum nenne ich die Regeln des Kochens nicht willkürlich; & warum bin ich versucht die Regeln der Grammatik willkürlich zu nennen? Weil das Kochen durch seinen Zweck definiert ist dagegen der Gebrauch der Sprache nicht. Darum ist der Gebrauch der Sprache in einem gewissen Sinne autonom in dem das Kochen & Waschen es nicht ist. Denn wer sich beim Kochen nach andern als den |
Die Stellung der Spielregeln zu den
Sätzen. Die || Eine
Regel verhält sich zu einem Erfahrungssatz
ähnlich wie die
Zeichnung die die innern Charakteristika
eines Wohnhausplanes hat zu der Beschreibung
welche sich einer solchen Zeichnung bedient &
welche sagt daß so ein Haus dort & dort
existiere. Der Respekt den man vor den Regeln des Schachspiels – etwa – hat entspringt || kommt daher daß die Spiele die diese Regeln charakterisieren uns in vielerlei Beziehung gemäß sind. Denken wir uns aber ich erfände || beschriebe ein Spiel das ich etwa „Abrakadabra” nenne & gebe dafür die Regel: „Man lege einen Feldstein in eine viereckige Kiste nagle die Kiste zu & werfe mit einem andern Stein nach ihr” – gewiß hat dieses Gebilde auch das Recht eine Regel genannt zu werden. Man wird nur fragen „was soll das alles? wozu sollen wir das machen?” |
Statt der Zeichnung allein die zur Beschreibung eines
bestimmten Hauses dienen kann könnte man sich auch die unangewandte Beschreibung eines Haushaltes etwa die Einteilung eines ganzen Tages denken, von welcher
Beschreibung die Planzeichnung einen Teil bilden
würde. Das entspräche etwa der Beschreibung des Schachbretts & der Figuren & der erlaubten Züge & etwas |
Das Schema:
Ding-Eigenschaft. Man sagt: eine Handlung habe
eine Eigenschaft! Etwa die der Schnelligkeit; oder
die der Güte! |
Die
Gleichung p ∙ q = p zeigt
eigentlich den Zusammenhang des Folgens & der
Wahrheitsfunktionen. |
„In den Regeln darf kein Widerspruch
sein”, das klingt so wie eine Vorschrift: „in
einem Benzinmotor || einer Uhr darf das
Zahnrad auf der Kurbelwelle nicht lose sitzen”.
Man erwartet sich dann eine Begründung: weil sonst
… Im ersten Falle könnte diese Begründung aber
nur lauten: weil es sonst kein Regelverzeichnis
ist. Es ist eben wieder ein Fall der grammatischen
Struktur die sich logisch nicht begründen
läßt. |
Es hat keinen Sinn von einem schwarzen
Zwei-Eck im weißen Kreis zu reden; und dieser Fall ist analog dem: es ist sinnlos zu sagen, das
Viereck bestehe aus 0 Teilen
(keinem Teil). Hier haben wir etwas wie eine untere Grenze des Zählens noch ehe wir die Eins erreichen. Gibt es auch einen Fall in welchem es eine obere Grenze gibt? Ich glaube schon; z.B. den der Flächen regelmäßiger Körper. Aber muß ich so weit gehen, kann ich nicht willkürlich so ein System festsetzen? |
Ist Teile zählen in I das
Gleiche wie Punkte zählen in IV? Und worin
besteht der Unterschied? Man kann das Zählen der
Teile in I auffassen als ein Zählen
von Vierecken. Dann kann man aber auch sagen „in
dieser Zeile ist kein Viereck”; & dann
zählt man nicht
Teile. Es beunruhigt uns die Analogie zwischen
dem Zählen der Punkte & der Teile & das Auslassen dieser Analogie
Darin, die ungeteilte Fläche als „Eins” zu zählen ist etwas Seltsames; dagegen finden wir keine Schwierigkeit darin die einmal geteilte als Bild der 2 zu sehen. Man möchte hier viel lieber zählen „0, 2, 3, etc.”. Und dies entspricht der Satzreihe: „das Viereck ist ungeteilt”, „das Viereck ist in 2 Teile geteilt”, etc.. |
Wenn es sich um verschiedene
Farben handelt dann kann man sich den Standpunkt (die
Betrachtungsweise) denken von || auf || von dem man nicht sagt, wir haben hier zwei Farben
sondern, es ist hier ein Unterschied der Farben; und die
Betrachtungsweise die in rot, grün, gelb überhaupt nicht 3
sieht. Und die zwar eine Reihe, etwa: rot;
blau, grün; gelb, schwarz, weiß;
etc. als solche erkennt, sie aber nicht mit der Reihe
❘;
❘ ❘;
❘ ❘ ❘;
etc. in Verbindung bringt, oder nicht so, daß sie
❘ dem ersten Glied
rot zuordnet. |
Von dem Standpunkt von dem es
‚seltsam’ ist die ungeteilte Fläche als 1 zu
zählen ist es aber auch nicht natürlich die einmal
geteilte als 2 zu zählen.
|
Das geht nun, wo die Farben
in einem Streifen an einander grenzen wie
etwa im Schema
Das Natürlichste ist die Reihe der
|
Man kann die
Teiligkeit des Vierecks
beschreiben indem man
sagt, || : es sei || ist in 5 Teile geteilt, oder: es sind 4 Teile davon
abgetrennt worden, oder: es hat das Teilungsschema ABCDE,
oder: man kommt durch alle Teile indem man 4 Grenzen passiert,
etc. etc. oder: das
Viereck ist geteilt (d.h. in 2 Teile) der
eine Teil wieder geteilt & beide Teile dieser Teilung geteilt,
etc. Ich will zeigen daß nicht nur eine Methode besteht die Teiligkeit zu beschreiben. |
Wenn man die Unterschiede (der
Farben) zählen will so wird man, wie gesagt etwa die
Zusammenstellungen je zweier Farben zählen; man ist aber
dann auch versucht von einem Mehrfarbenunterschied zu
sprechen, |
Man wird sich
aber vielleicht auch enthalten den Unterschied überhaupt mit
einer Zahl zu bezeichnen sondern sich ganz an die Schemata
A, AB, ABC, etc.
halten. Oder es auch so schreiben 1, 12, 123, etc. oder was auf das gleiche hinauskommt: 0, 01, 012, etc. Diese kann man sehr wohl auch Zahlenwörter nennenZahlen || Zahlwörter nennen || Zahlzeichen nennen. |
Die Schemata: A, AB, ABC, etc.; 1, 12, 123, etc.; ❘, ❘ ❘, ❘ ❘ ❘ etc.;
|
Die Schemata
Hätte man statt der Schemata
|
Vergleiche einfach die beiden Reihen:
|
Es kann der
Reihe
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ etc. |
Beiläufig &
irreführend ausgedrückt: ich kann
die Teile zählen aber auch die Teile die mehr als
einer || über einen vorhanden sind.
Richtiger ist es schon zu sagen: „ich kann die Teile
zählen, aber auch die Teilstriche”; nur muß man
dann wissen was man in einem Fall
einen Teilstrich
nennt. Ich kann die Reihe der Teilungsschemata sowohl mit der Reihe 1, 2, 3 etc. als auch mit der Reihe 0, 1, 2, 3 etc. vergleichen. Zähle ich die Teile so
|
Könnte
man auch eine Zahlenart den Kardinalzahlen
entgegensetzen deren Reihe der der
Kardinalzahlen ohne der 5 entspräche? Oh
ja; nur wäre diese Zahlenart vorläufig zu
nichts zu brauchen, wozu die Kardinalzahlen
es sind. Und die 5 fehlt diesen Zahlen nicht wie ein Apfel
den man aus einer Kiste voller Äpfel herausgenommen || genommen hat & wieder hineinlegen kann, sondern
die 5 fehlt dem Wesen dieser Zahlen; sie kennen die 5 nicht
(wie die Kardinalzahlen die Zahl
(Zeigt sich hier nicht die Unsinnigkeit des Geredes von der „Grundintuition”?) |
29.
Regeln der Grammatik die eine „Verbindung
zwischen Sprache & Wirklichkeit” herstellen,
& solche die es nicht tun. Von der ersten Art
etwa: „diese Farbe nenne ich
‚rot’”, – von der zweiten:
„~~p =
p”. Aber über diesen Unterschied
besteht ein Irrtum: der Unterschied scheint prinzipieller Art zu
sein; & die Sprache wesentlich etwas dem eine
Struktur gegeben, & was dann der Wirklichkeit
aufgepaßt wird. |
Die Philosophen, welche
sagen: „nach dem Tod wird ein zeitloser Zustand
eintreten”, oder „mit dem Tod tritt ein zeitloser
Zustand ein”, & nicht merken, daß sie
zeitlich || im zeitlichen Sinne
„nach” & „mit” &
„tritt ein” gesagt haben & daß die
Zeitlichkeit in ihrer Grammatik liegt. |
„Das
Viereck hat eine Farbe & nur Ich weiß selbst nicht, was mir an dieser Sache noch unverständlich ist, worin mein Problem liegt, & doch ist noch eins. Es ist etwas noch nicht klar! Unrichtig ausgedrückt, aber so wie man es zunächst ausdrücken würde, lautet das Problem: „warum kann man sagen ‚es gibt 2 Farben auf dieser Fläche’ & nicht: ‚es gibt eine Farbe auf dieser Fläche’?” Oder: Wie muß ich die grammatische Regel ausdrücken, daß ich nicht mehr versucht bin Unsinniges zu sagen & daß sie mir selbstverständlich ist? Wo liegt der falsche Gedanke, die falsche Analogie, durch die ich versucht || verführt werde, die Sprache unrichtig zu gebrauchen? Wie muß ich die Grammatik darstellen daß diese Versuchung wegfällt? Ich glaube, daß die Darstellung durch die Reihen
u.s.w.
u.s.w. So ist es auch, wenn ich die Längen von Stäben oder die Größen von Hüten zähle. Wenn ich mit Zählstrichen zähle so könnte ich diese || sie dann so schreiben: , , , etc. um zu zeigen daß es auf den Richtungsunterschied ankommt & der einfache Strich der 0 entspricht (d.h. der Anfang ist). |
(Der
aufregende Charakter der grammatischen
Unklarheit.) |
Der Sinn eines || des Satzes ist nicht pneumatisch, sondern ist das, was
auf die Frage nach der Erklärung des Sinnes zur Antwort
kommt. Und – oder – der eine Sinn unterscheidet
sich vom andern wie die Erklärung des einen von der
Erklärung des andern. |
Welche Rolle der Satz im
Kalkül spielt, das ist sein Sinn. |
Der Sinn
steht also nicht hinter ihm (wie der psychische Vorgang
der Vorstellungen etc.). |
Welche Sätze aus
ihm folgen & aus welchen Sätzen er folgt, das macht
seinen Sinn aus. Daher auch die
|
Wende das auf einen
Satz an, wie etwa „es wird niemals Menschen mit zwei
Köpfen geben”. Dieser Satz scheint irgendwie
in's Unendliche Unverifizierbare zu reichen
& sein Sinn von jeder Verifikation
unabhängig zu sein. Aber wenn wir seinen Sinn
erforschen wollen, so meldet sich ganz richtig die Frage:
Können wir die Wahrheit eines solchen Satzes je wissen
& wie können wir sie wissen¤
& welche
Gründe können wir haben was der Satz sagt anzunehmen
& abzulehnen? Nun wird man vielleicht
sagen: es ist ja nach dem Sinn gefragt
worden; nicht danach, ob & wie man ihn wissen kann.
Aber die Antwort auf die Frage „wie kann man diesen Satz wissen?” ist nicht eine psychologische sondern sagt, aus welchem andern Satz er folgt, gehört also zur Grammatik des erstern. Und die Gründe, die möglich sind den Satz anzunehmen sind nicht persönliche Angelegenheiten sondern Teile des Kalküls zu dem der Satz gehört. Wenn ich frage: wie kann ich den Satz „jemand ist im Nebenzimmer” verifizieren, oder wie kann ich herausfinden, daß jemand im Und, indem man die erste Art mit der zweiten verwechselt glaubt man, die Frage nach der Verifikation sei für den Sinn ohne Belang. Die Gründe für die Annahme eines Satzes muß man nicht || sind nicht zu verwechseln mit den Ursachen der Annahme. Jene gehören zum Kalkül des Satzes. |
Die Ursachen, warum wir einen Satz glauben
wären bei der || für die Frage, was es denn
ist, was wir glauben, allerdings |
Und der Sinn des Satzes ist ja nicht etwas, was wir
erforschen & vielleicht zum Teil unerforschlich ist.
So daß wir später erst noch einmal darauf kommen
könnten, daß dieser Satz von andern Wesen als wir sind auf
eine andere Art gewußt werden kann. So daß er
dieser Satz mit diesem Sinn bliebe, dieser Sinn
aber Eigenschaften hätte, die wir jetzt nicht ahnen.
Der Satz, oder sein Sinn, ist nicht das pneumatische Wesen,
was sein Eigenleben hat & nun Abenteuer besteht, von denen wir
nichts zu wissen brauchen. Wir hätten ihm quasi Geist
von unserm Geist eingehaucht, – seinen Sinn – aber nun
hat er sein Eigenleben – wie unser Kind – & wir
können ihn (nur)
erforschen & mehr oder weniger verstehen.
|
Der Instinkt führt einen richtig, der zur Frage
führt: Wie kann man so etwas wissen; was für
einen Grund können wir haben das anzunehmen; aus welchen
Erfahrungen würden wir so einen Satz ableiten;
etc.¤ |
Der Sinn ist keine Seele des
Satzes. Er muß, soweit wir an ihm interessiert
sind, sich gänzlich ausmessen |
Wenn man nun fragt: hat es Sinn
zu sagen „es wird nie das & das
geben”? – Nun, welche Evidenz gibt es
dafür; & was folgt daraus? – Denn wenn
es keine Evidenz dafür gibt – nicht daß wir noch nicht
imstande waren sie zu kriegen – sondern daß || wenn keine im Kalkül vorgesehen wurde, dann
ist damit der Charakter dieses Satzes bestimmt. Wie
das Wesen einer Zahlenart dadurch, daß kein Vergleich zwischen ihr
& gewissen Rationalzahlen möglich ist. |
Übrigens: Eine Zahl die
heute auf bewußte Weise mittels des
Fermatschen Satzes
definiert ist, wird dadurch nicht geändert daß der Beweis
dieses Satzes oder des Gegenteils gefunden wird. Denn der
Kalkül dieser Zahl weiß von dieser Lösung des Problems
nichts (& wird auch dann nichts von ihr wissen). |
„Ich werde nie einen
Menschen mit 2 Köpfen sehen” – man glaubt, durch
diesen Satz irgendwie in die Unendlichkeit zu reichen.
Quasi zum mindesten eine Eisenbahn dorthin gelegt zu haben,
wenn wir auch noch nicht die ganze Strecke
bereist haben. Es liegt da die Idee zu Grunde, daß z.B. das Wort „nie” die Unendlichkeit bereits || schon mitbringe, da das eben seine Bedeutung ist. Es kommt darauf an: Was kann ich mit so einem Satz tun || anfangen; denn, auf die Frage „was bedeutet er?” kommt ja wieder ein Satz zur Antwort, & der führt mich solange nicht weiter, als ich aus der Erklärung nichts über die Züge erfahre, die ich mit den Figuren machen darf. (Als ich, sozusagen, nur immer wieder die gleiche Konfiguration vor mir sehe & keine anderen die ich aus ihr bilden kann.) So höre ich z.B. daß keine Erfahrung diesen Satz beweisen kann & das beruhigt mich über seine unendliche Bedeutung. |
Manche
Philosophen (oder wie man sie nennen soll) leiden an dem was man
„loss of problems”,
„Problemverlust” nennen kann. Es scheint
ihnen dann alles ganz einfach & es scheinen keine
tiefen Probleme mehr zu existieren, die Welt wird weit & flach
& verliert jede Tiefe; & was sie schreiben
wird unendlich seicht und trivial.
Russell &
H. G. Wells haben dieses Leiden. |
Aus keiner Evidenz folgt, daß dieser
|
Es gibt so viel verschiedene
Allgemeinheiten als es verschiedene Zahlarten
gibt. || Es gibt soviel verschiedene
‚alle’, als es verschiedene ‚eins’
gibt. |
Darum nützt es nichts zur Klärung das Wort
„alle” zu gebrauchen, wenn seine man seine
Grammatik in diesem Fall noch nicht kennt. |
1.3.
Ein einfaches Sprachspiel ist z.B.
dieses: Man spricht zu einem Kind (es kann aber auch
ein Erwachsener sein) indem man das elektrische Licht in einem Raum
andreht: „Licht”, dann, indem man es
abdreht: „Finster”; & tut das
etwa mehrere Male mit Betonung &
variierenden Zeitlängen. Dann geht man etwa
in das NebenzimmerSoll ich da nun „licht” & „finster” ‚Sätze’ nennen?! Nun, wie ich will. – – Und wie ist es mit der ‚Übereinstimmung mit der Wirklichkeit’? |
Wenn ich bestimmte einfache Spiele beschreibe, so
geschieht es nicht um mit ihnen nach & nach die wirklichen
Vorgänge der Sprache – oder des Denkens – aufzubauen,
was nur zu Ungerechtigkeiten führt, – sondern ich stelle die
Spiele als solche hin, & lasse sie ihre aufklärende
Wirkung auf die besondern Probleme ausstrahlen. |
Ich habe ein Bild mit
verschwommenen Farben & komplizierten
Übergängen. Ich stelle ein einfaches
mit klar geschiedenen Farben aber mit dem ersten
Verwandtes daneben.
Ich sage nicht daß das
erste eigentlich das zweite || andere sei;
aber ich lade den Andern ein das Einfache
anzusehen & verspreche mir davon daß gewisse Beunruhigungen
für ihn verschwinden werden. |
(Hängt meine Art des Denkens mit
dem |
Man könnte oben sagen: „die
Worte ‚licht’, ‚finster’
sind hier als Sätze gemeint & sind nicht
einfach Wörter”. Das heißt sie
sind hier nicht so gebraucht, wie wir sie in der gewöhnlichen
Sprache gebrauchen (obwohl wir tatsächlich auch oft so
sprechen). Aber wenn ich plötzlich ohne sichtbaren
Anlaß das Wort „licht” isoliert ausspreche, so
wird man allerdings fragen || sagen: „was heißt das? das ist doch kein
Satz” oder: „Du sagst
‚licht’, nun was soll's
damit?” Das Aussprechen des Wortes „licht” ist in diesem Fall sozusagen noch kein (kompletter) Zug des Spiels which we expect the other to play. |
Wie unterscheidet sich nun
„licht” wenn es den Wunsch nach Licht ausdrückt
von „licht” wenn es konstatiert daß es im
Zimmer licht ist? Daß wir es in jedem Fall anders
meinen? Und worin besteht das? In
bestimmten Vorgängen die das Aussprechen
begleiten, oder in einem bestimmten
Benehmen, das ihm vorangeht, eventuell es begleitet,
& ihm folgt? |
Wenn
ein Mann im Ertrinken „Hilfe”
|
Ich sage
das Wort „Licht!”, – der Andere
fragt mich: „was meinst Du?”
– Und ich sage || antworte:
„Ich meinte, Du sollst Licht machen”.
– Wie war das, als ich es meinte?
Sprach ich den „kompletten Satz” in der
Vorstellung unhörbar aus oder den entsprechenden in einer andern
Sprache? (Ja, das kann vorkommen oder
auch nicht.) Die Fälle die man alle damit || mit dem Ausdruck „ich
meinte” zusammenfaßt sind sehr
mannigfach. |
Nun kann
man ruhig annehmen: ‚ich meinte, Du solltest Licht
machen’ heißt, daß mir dabei ein Phantasiebild
von Dir in dieser Tätigkeit vorgeschwebt hat, &
ebensogut, || :
jener Satz || der Satz heißt, daß
mir dabei die Worte des vollständigen Satzes in der Phantasie
gegenwärtig waren, oder daß eins von diesen beiden der Fall
war, – nur muß ich wissen daß ich damit eine Festsetzung
über die Worte „ich meinte” getroffen habe
& eine engere als die ist welche dem tatsächlichen
allgemeinen Gebrauch des Ausdrucks entspricht. |
Wenn das
Meinen für uns irgendeine Bedeutung, Wichtigkeit, haben soll so
muß dem System der Sätze ein System der Meinungen zugeordnet
sein, was immer für Vorgänge die Meinungen sein
sollen. |
Inwiefern stimmt nun das Wort „Licht”
im obigen Symbolismus oder Zeichenspiel mit einer
Wirklichkeit überein, – oder nicht überein?
Wie gebrauchen wir überhaupt das Wort übereinstimmen? – Wir sagen „die beiden Uhren stimmen überein”, wenn sie die gleiche Zeit zeigen, „die beiden Maßstäbe stimmen überein”, wenn gewisse Teilstriche zusammenfallen, „die beiden Farben stimmen überein” wenn etwa ihre Zusammenstellung uns angenehm ist. Wir sagen „die beiden Längen stimmen überein” wenn sie gleich sind, aber auch wenn sie in einem von uns gewünschten Verhältnis stehen. Und daß sie „übereinstimmen” heißt dann nichts andres, als daß sie in diesem Verhältnis – etwa 1 : 2 – stehen. So muß also in jedem Fall erst festgesetzt werden, was unter „Übereinstimmung” zu verstehen ist. – So ist es nun auch mit der Als ich nun dem Andern erklärte: „Licht” (indem ich Licht machte), „Dunkel || Finster” (indem ich auslöschte) hatte ich auch sagen können & mit genau derselben Bedeutung |
2.
Es kommt eben wieder auf die Grammatik des Wortes
„Übereinstimmung” an, auf seinen
Gebrauch. Und hier liegt die Verwechslung mit
‚Ähnlichkeit’ nahe in dem Sinn in
welchem || dem zwei Personen einander
ähnlich sind wenn ich sie leicht miteinander verwechseln
kann. Ich kann auch wirklich nach der Aussage über die Gestalt eines Körpers eine Hohlform konstruieren in die nun der Körper paßt oder nicht paßt, jenachdem die Beschreibung richtig oder falsch war, & die konstruierte Hohlform gehört dann in dieser Auffassung noch zur Sprache (die bis an die Wirklichkeit herankommt). |
Aber auch die Hohlform macht kein
finsteres Gesicht, wenn der Körper nicht in sie paßt.
|
Behauptung, Annahme,
Frage. Man kann auf dem Schachbrett einen Zug in einer
Schachpartie machen, – aber auch während eines
Gesprächs über ein Schachproblem
Freges Anschauung könnte man so wiedergeben: daß die Annahme (so wie er das Wort gebraucht) das ist, was die Behauptung daß p der Fall ist mit der Frage ob p der Fall ist gemeinsam hat. |
Kann man statt der Frage „ist
p der Fall” den Satz setzen:
„ich möchte wissen ob p der Fall
ist”? (Und wie ist es mit dieser
Frage? – –) |
Wie ist es mit den Sätzen eines
Romans? Wenn man sich immer mit Hilfe des
Fregeschen Symbolismus
ausdrückte, sollte man da das
Behauptungszeichen |
Es
gibt wirkliche Annahmen, die wir eben durch Sätze von der Form
„angenommen p wäre
(oder: ist) der Fall”
ausdrücken. Aber solche Sätze nennen wir nicht
vollständig & sie scheinen sehr
ähnlich den Sätzen der Form || erinnern uns an
Sätze der Form „wenn
p der Fall ist, …”.
|
Erinnern wir uns daran, daß es
keinen Sinn hat zu sagen
„(es schneit) oder
(regnet es?)” Wenn ich die Behauptung
daß p der Fall ist
„⊢p”
schreibe, die Frage ob p der Fall ist
„?p” & den Wunsch,
daß p der Fall sein möge
„!p”, so kann
man also nicht schreiben „(⊢p) ⌵
(?p)”. |
Und welcher Art ist ein
Satz wie der vorige „Erinnern wir uns
daran …”? Oder, wenn sich Einer eine mögliche Situation, etwa ihrer Seltsamkeit wegen, notiert? Oder: die Erzählung eines Witzes? |
Ist nun aber eine solche Annahme ein
Teil einer Behauptung? Ist das nicht als sagte man,
die Frage ob p der Fall ist, sei ein Teil der
Behauptung, daß p der Fall ist? |
Ist es aber nicht
auffällig daß wir es in unsern gewöhnlichen
philosophischen grammatischen || philosophisch-grammatischen Problemen nie
damit zu tun haben, ob sie sich auf Behauptungen oder Fragen
beziehen? (Etwa in dem Problem von Idealismus
& Realismus) |
Der Unterschied zwischen dem,
was man Sätze der Mathematik nennt &
Erfahrungssätzen tritt || Übrigens tritt der
Unterschied zwischen dem, was man Sätze der
Mathematik nennt & Erfahrungssätzen zu Tage,
wenn man bedenkt, ob es Sinn hat zu sagen: „ich
wünschte
2 × 2
wäre 5!” |
Und,
daß das Problem der || von
Behauptung, Frage & Annahme in anderm Zusammenhang nicht
auftritt hängt wohl auch damit zusammen, daß jeder Frage
eine Behauptung & eine Annahme entspricht.
Und irgendwie ist die Lösung, daß wir uns nur für Kalküle interessieren & psychische Begleiterscheinungen die nicht zum Kalkül gehören uns nicht angehen. |
8.
Wenn das Wort „Übereinstimmung mit der
Wirklichkeit” gebraucht wird || werden darf,
dann nicht als metalogischer Ausdruck sondern als Teil eines
Kalküls, als Teil der
gewöhnlichen Sprache. Man
kann |
10.
Wenn es so etwas gäbe wie eine Annahme im
Sinne Freges, müßte
dann nicht die Annahme daß p der Fall ist gleich der sein
daß ~p der Fall ist? |
In dem Sinn in welchem die Frage
„ist p der Fall?” die
gleiche ist wie „ist p nicht der
Fall?”. |
Es
ist sinnlos von einer Frage zu sagen, sie sei wahr oder
falsch; ihr ein ~ vorzusetzen (nämlich der Frage als
solcher); zu sagen sie stimme (oder stimme nicht) mit der
Wirklichkeit überein. |
In dem Sprachspiel „Licht-Finster”
kommt keine Frage
vor. – Aber wir könnten es auch mit Fragen
spielen. |
Man hat
natürlich das Recht ein Behauptungszeichen zu verwenden,
wenn man es im Gegensatz etwa zu einem Fragezeichen
gebraucht. Irreleitend ist es nur wenn man meint
daß die Behauptung Mit dem Klavierspielen nach Noten ist nun allerdings das laute, oder auch leise, Lesen nach dem geschriebenen oder gedruckten Satz zu vergleichen & ganz analog, aber nichts, was wir denken nennen. Ist also z.B. ein Behauptungszeichen im geschriebenen Satz, so wird wieder ein Behauptungszeichen im gelesenen sein (etwa die Betonung oder der Stimmfall). Aber nicht, als ob im geschriebenen Satz das Zeichen, im Gedachten aber die Bedeutung anwesend wäre. – |
Eine Sprache (ich
meine eine Sprechart) ist denkbar in der
es keine Behauptungssätze gibt sondern nur Fragen & die
Bejahung & Verneinung. |
Welche Rolle spielen falsche Sätze in einem
Sprachspiel? Ich glaube, es gibt verschiedene
Fälle. I. Einer hat die
Signallaternen an einer Straßenkreuzung zu
beobachten II. Es werden meteorologische Beobachtungen gemacht & nach gewissen Regeln aus ihnen das Wetter des nächsten Tages || für den nächsten Tag vorhergesagt. Die Vorhersage trifft ein oder nicht. Im ersten Fall kann man sagen, er spielt falsch; im zweiten nicht –. |
Man
wird (nämlich) hier || hier
(nämlich) von einer Frage
geplagt die etwa so lautet: gehört die
Verifikation noch mit zum
Sprachspiel? |
Wie schaut die
Verifikation aus, – wie
geht sie vor sich? I. Jemand sagt mir: „Du siehst jetzt eine rote Kugel auf Dich zufliegen.” II. „Wenn Du Dich umdrehst wirst Du jemand hinter Dir stehn sehn.” III. „Wenn der Zeiger der Uhr auf 4 stehen wird, wirst Du an dieser Stelle des Zimmers ein Licht sehen.” IV. „Wenn Du diesen Stab messen wirst, so wirst Du finden, daß er 1 m lang ist.” |
∣
Ich weiß nicht ob ich es je aufgeschrieben || geschrieben habe,
daß ich die Methode, einer grammatischen Betrachtung || einer Betrachtung eine Anzahl Beispiele
vorzusetzen || voranzustellen in der
Mittelschule von einem Professor namens
Heinrich﹖ Groag (einem Juden) gelernt habe. || ¤ daß ich die Methode, eine
sprachliche Betrachtung mit einer Gruppe von
Beispielen zu beginnen in der
Mittelschule von einem Professor namens
Heinrich﹖ Groag (einem Juden) gelernt habe. ∣
|
∣ Wenn
ich die Dinge mit so trüben Augen sehe wie sie der
gewöhnliche Mensch alle Tage sieht, kann ich auch nichts sagen
was die Menschen aus ihrer gewöhnten
Betrachtungsweise herausreißen kann. ∣ |
18.4.
Glauben Hiermit verwandt:
erwarten, hoffen, fürchten, wünschen.
Aber auch: zweifeln, suchen, etc.
Man sagt: „Ich habe ihn von 5–6 Uhr erwartet”, „ich habe den ganzen Tag gehofft, er werde kommen”, „in meiner Jugend habe ich gewünscht …”, etc.. Daher falscher Vergleich mit in der Zeit amorphen Zuständen (Zahnschmerz, das Hören eines Tones, etc.) – (obwohl diese unter sich wieder verschieden sind). |
Was heißt es nur: „ich glaube, er
wird um 5 Uhr kommen”? oder: „er glaubt
N werde um 5 Uhr kommen”? Nun,
woran erkenne ich, daß er das glaubt? Daran, daß er es sagt? oder aus seinem
übrigen Verhalten? oder aus beiden? Danach
wird man dem Satz „er glaubt …” verschiedenen
Sinn geben können. |
Hat
es einen Sinn zu fragen: „Woher weißt Du,
daß Du das glaubst?”
Und ist etwa die Antwort:
„ich erkenne es durch
Introspektion”?
In manchen Fällen wird man so etwas sagen können, in manchen aber nicht. |
Es hat einen Sinn, zu fragen: „liebe
ich sie wirklich? mache ich mir das nicht nur
vor?” Und der Prozeß
der Introspektion ist hier das Aufrufen von
Erinnerungen, das Vorstellen möglicher
Situationen & der Gefühle die man hätte
etc. |
Introspektion nennt man einen
Prozeß || Vorgang des
Schauens im Gegensatz zum Sehen.
|
„Woher || Wie weiß ich, daß ich
das glaube?”, |
Man
konstruiert hier nach dem Schema: „Woher weißt
Du, daß jemand im andern Zimmer ist?” –
„Ich habe ihn drin singen
gehört”. „Ich weiß daß ich Zahnschmerzen habe, weil ich es fühle” ist nach diesem Schema konstruiert & heißt nichts. Vielmehr: ich habe Zahnschmerzen = ich fühle Zahnschmerzen = ich fühle, daß ich Zahnschmerzen habe (ungeschickter & irreführender Ausdruck). „Ich weiß, daß ich Zahnschmerzen habe” sagt dasselbe nur noch ungeschickter, es sei denn daß unter „ich habe Zahnschmerzen” eine Hypothese verstanden wird. Wie in dem Fall: „ich weiß daß die Schmerzen vom schlechten Zahn herrühren & keine Neuralgie sind. || nicht von einer Neuralgie. |
Denken wir auch an die Frage „Wie merkst Du daß Du
Zahnschmerzen hast?” oder gar „wie
merkst Du daß Du fürchterliche Zahnschmerzen
hast?” (Dagegen: „wie merkst
Du, daß Du Zahnschmerzen bekommen
wirst”.) |
(Hierher gehört die Frage: welchen
|
Man könnte nun die Sache so (falsch)
auffassen: Die Frage „Wie weißt Du
daß Du Zahnschmerzen hast” ist darum nicht
üblich || wird darum nicht gestellt weil man dies von
den Zahnschmerzen (selbst) aus erster
Hand erfährt, während man, daß ein Mensch im andern
Zimmer ist, aus zweiter Hand, etwa durch
ein Geräusch, erfährt. Das eine
weiß ich durch unmittelbare Beobachtung, das andere erfahre
ich indirekt. Also:
„Wie weißt Du, daß Du
Zahnschmerzen hast” – „Ich weiß es,
weil ich sie habe” – „Du entnimmst es
daraus, daß Du sie hast; aber mußt Du dazu nicht schon wissen,
daß Du sie hast?”. – – Der
Übergang von den Zahnschmerzen zur Aussage „ich habe
Zahnschmerzen” ist eben ein ganz anderer als der vom
Geräusch zur Aussage „in diesem Zimmer ist
jemand”. Das heißt die
Übergänge gehören ganz andern
Sprachspielen an || gehören zu
ganz verschiedenen Sprachspielen. |
Ist, daß ich
Zahnschmerzen habe, ein Grund zur Annahme, daß ich
Zahnschmerzen habe? |
(Man kann die Philosophen dadurch
verwirren || confound, daß man
nicht bloß da Unsinn spricht wo auch sie es tun, sondern auch
solchen den zu sagen sie sich scheuen
(würden).)
|
Erschließt man aus
der Wirklichkeit einen Satz? Also etwa
„aus den wirklichen Zahnschmerzen, darauf, daß man
Zahnschmerzen hat”? Aber das ist doch nur eine
unkorrekte Ausdrucksweise; es müßte heißen: man
schließt daß man Zahnschmerzen hat daraus,
daß man Zahnschmerzen hat
(Offenbarer
Unsinn).
|
21.
„Warum glaubst Du, daß Du Dich an der Herdplatte
verbrennen wirst?”
„Hast Du Gründe für diesen Glauben, & brauchst Du Gründe?” Hast Du diese Gründe – gleichsam – immer bei Dir, wenn Du es glaubst? Und glaubst Du es immer – ausdrücklich – wenn Du Dich etwa wehrst die Herdplatte anzurühren? Meint man mit ‚Gründen des Glaubens || für den Glauben’ dasselbe wie mit ‚Ursachen des Glaubens’ (Ursachen des Vorgangs |
22. Was für einen Grund habe ich zu
glauben || anzunehmen daß mein Finger, wenn er den
Tisch berühren, wird einen Widerstand
spüren wird? Was für einen Grund zu glauben
daß dieser Bleistift sich nicht schmerzlos durch meine Hand
stecken läßt? Wenn ich dies frage melden sich
hundert Gründe die einander gar nicht zu Wort kommen lassen
wollen. „Ich habe es doch selbst ungezählte
Male erfahren; & ebensooft von ähnlichen Erfahrungen
gehört; wenn es nicht so wäre, würde …;
etc.”. |
Glaube ich, wenn ich auf meine Türe zugehe ausdrücklich
daß sie sich öffnen lassen wird, – daß
dahinter ein Zimmer & nicht ein Abgrund sein wird,
etc.? |
Setzen wir statt des Glaubens den Ausdruck des Glaubens. – |
Was heißt es, etwas aus
einem bestimmten Grunde glauben? Entspricht es,
wenn wir statt des Glaubens den Ausdruck des Glaubens
setzen, dem, daß Einer
den Grund sagt ehe er || man den Grund sagt
ehe man das Begründete
sagt? |
„Hast Du es aus diesen Gründen
geglaubt” ist dann eine ähnliche Frage wie:
„hast Du, als Du mir sagtest
25 × 25 sei
625 die Rechnung || Multiplikation wirklich
ausgeführt?” |
23. Die Frage „warum glaubst Du
das” || „aus welchen Gründen glaubst Du
das” könnte bedeuten:
„aus welchen Gründen leitest Du das jetzt ab (hast Du
es jetzt abgeleitet)”; aber auch: „welche
Gründe kannst Du mir nachträglich für diese Annahme
angeben”. |
Ich
könnte also unter ‚Gründen’ zu einer
Meinung tatsächlich nur das verstehen was der Andere sich
vorgesagt hat ehe er zu der Meinung kam. Die Rechnung die
er tatsächlich ausgeführt hat. |
Frage ich jemand: „warum glaubst Du,
daß diese Armbewegung einen Schmerz mit sich bringen
wird?”, & er antwortet: „weil
sie ihn einmal hervorgebracht & einmal nicht
hervorgebracht hat”, so werde ich doch
sagen: „das ist doch kein Grund zu Deiner
Annahme”. Wie nun wenn er mir darauf antwortet: „oh doch!; ich habe diese |
„Warum glaubst Du, daß das geschehen
wird?” – „Weil ich es zweimal
beobachtet habe”. Oder: „Warum glaubst Du, daß das geschehen wird?” – „Weil ich es mehrmals beobachtet habe; & es geht offenbar so vor sich: …” (es folgt eine Darlegung einer umfassenden Hypothese). Aber diese Hypothese, dieses Gesamtbild muß Dir einleuchten. Hier geht die Kette der Gründe nicht weiter. – (Eher könnte man sagen daß sie sich schließt.) |
Man
möchte sagen: Wir schließen nur dann aus der
früheren Erfahrung auf die zukünftige, wenn wir die
Vorgänge verstehen (im Besitze der richtigen Hypothese
sind). Wenn wir den richtigen, tatsächlichen,
Mechanismus zwischen den beiden beobachteten Rädern
annehmen. Aber denken wir doch nur: Was ist
denn das || unser Kriterium
dafür daß unsere Annahme die richtige ist? –
Das Bild & die Daten überzeugen |
Wir sagen: „diese
Gründe sind überzeugend”; und dabei handelt
es sich nicht um Prämissen aus denen das
folgt wovon wir überzeugt
wurden. |
Wenn man
sagt: „die gegebenen Daten sind insofern Gründe zu
glauben p werde geschehen, als dies aus
den Daten zusammen mit dem angenommenen Naturgesetz
folgt”, – dann kommt das
eben darauf hinaus zu sagen, das Geglaubte folge aus den Daten
nicht, sondern komme vielmehr einer neuen Annahme
gleich. |
Wenn man nun
fragen
würde || fragt: wie kann
aber frühere Erfahrung ein Grund zur Annahme sein, es werde
später das & das eintreffen, – so ist die
Antwort: welchen allgemeinen Begriff vom Grund zu solch
einer Annahme haben wir denn? Diese Art Angabe über
die Vergangenheit nennen wir eben Grund zur Annahme es werde das in
Zukunft geschehen. – Und wenn man sich
wundert, daß wir ein solches Sprachspiel || Spiel
spielen, dann berufe ich mich auf die Wirkung einer
vergangenen Erfahrung |
Wer sagt, er ist durch Angaben über
Vergangenes nicht davon zu überzeugen daß
in Zukunft etwas geschehen wird, der muß
etwas anderes mit dem Wort „überzeugen” meinen
als wir es tun. – Man könnte ihn fragen:
Was willst Du denn hören? Was für Angaben
nennst Du Gründe um || dafür, das zu
glauben? Was nennst Du
„überzeugen”? Welche Art des
„Überzeugens” erwartest Du Dir.
– Wenn das keine Gründe sind, was
sind denn Gründe? – Wenn Du sagst, das
sind || seien keine Gründe, so mußt Du doch
angeben können was der Fall sein müßte, damit wir mit
Recht sagen könnten, es seien Gründe für unsern
Glauben || unsere Annahme vorhanden.
‚Keine Gründe’ –: im Gegensatz
wozu? |
Denn
wohlgemerkt: Gründe sind hier nicht
Sätze aus denen das
Geglaubte folgt. |
Das soll aber nicht
heißen: || Aber nicht als ob man sagen könnte || wir
sagen wollten: Für's Glauben
genügt eben weniger, als für das Wissen. –
Denn hier handelt es sich nicht um eine
|
Irregeführt werden wir durch
die Ausdrucksweise || Redeweise:
„Das ist ein guter || richtiger
Grund zu unserer Annahme, denn er macht das Eintreffen des
Ereignisses wahrscheinlich”. || „Dieser Grund ist gut denn er macht das
Eintreffen des Ereignisses
wahrscheinlich”. Hier ist es,
als ob wir nun etwas weiteres über den Grund ausgesagt
hätten, was seine Zugrundelegung || was ihn als
(guten) Grund rechtfertigt,
während mit dem Satz, daß dieser Grund das Eintreffen
wahrscheinlich macht nichts gesagt ist, wenn nicht, daß
dieser Grund dem || einem bestimmten Standard des
guten Grundes entspricht, – der
Standard aber nicht begründet
ist. |
Ein guter Grund ist
einer der so aussieht. |
„Das ist ein guter Grund, denn er macht
das Eintreffen wahrscheinlich” erscheint uns so
wie: „das ist ein guter Hieb, denn er macht den Gegner
kampfunfähig”. |
Man möchte sagen: „ein guter
Grund ist er nur darum weil er das Eintreffen wirklich
wahrscheinlich macht”. Weil er sozusagen wirklich
einen Einfluß auf das Ereignis hat, also quasi einen
erfahrungsmäßigen. |
“Warum nimmst Du an daß er besserer Stimmung sein wird, weil ich Dir sage daß er
gegessen hat? ist denn das ein Grund?”
– „Das ist ein guter Grund, denn das Essen hat
erfahrungsgemäß einen Einfluß auf seine
Stimmung.” Und das könnte man auch so
sagen: „Das Essen macht es wirklich
wahrscheinlicher, daß er guter Stimmung sein
wird”. Wenn man aber fragen wollte: „Und ist alles das, was Du von der früheren Erfahrung vorbringst, ein guter Grund, anzunehmen daß es sich auch diesmal so verhalten wird”, so kann ich nun nicht sagen: ja, denn das macht das Eintreffen der Annahme wahrscheinlich. Vielmehr habe ich || Ich habe oben meinen Grund mit Hilfe des Standards für den guten Grund gerechtfertigt; jetzt kann ich aber nicht den Standard rechtfertigen. |
Wenn man sagt
„die Furcht ist begründet”, so ist nicht wieder
begründet, daß wir das als guten Grund zur Furcht
ansehen. Oder vielmehr: es kann hier nicht
wieder von einer Begründung die Rede sein. |
24. |
„Man kann
die Ursache einer Erscheinung nur vermuten”
(nicht wissen). – Das muß ein Satz
der Grammatik sein. Es ist nicht gemeint daß wir
‚mit dem besten Willen’ die Ursache nicht wissen können.
Der Satz ist insofern ähnlich
dem: „wir können in der Zahlenreihe, so weit wir
auch zählen, kein Ende erreichen”. Das
heißt: von einem „Ende der Zahlenreihe”
kann keine Rede sein; & dies ist – irreführend
– in das |
„Wie weißt Du, daß Du es aus diesem
Motiv getan hast?” – „Ich erinnere
mich daran, es darum getan zu Und wenn man etwa einen Ausdruck seines Gefühls nur mit Mühe unterdrückt hat, – wie war das? Hatte man sich ihn damals leise vorgesagt? etc. etc.. |
Das Motiv ist nicht eine Ursache ‚von innen
gesehen’! Das Gleichnis von innen &
außen ist hier – wie so oft – gänzlich
irreleitend. – Es ist von der Idee der Seele
(eines Lebewesens) im Kopfe (als Hohlraum vorgestellt)
hergenommen || hergeleitet. Aber diese
Idee ist darin mit andern unvereinbaren vermengt, wie die Metaphern in
dem Satz:
„der Zahn der Zeit der alle Wunden
heilt … || etc.”. |
Der Vorgang einer Erkenntnis in einer
Wissenschaftlichen Untersuchung (in der
Experimentalphysik etwa) ist freilich nicht der einer Erkenntnis im
Leben außerhalb des Laboratoriums || dem Laboratorium; aber er
ist ein ähnlicher & kann neben den andern
gestellt || gehalten diesen
beleuchten. |
Nach den
Gründen zu einer Annahme gefragt besinnt man sich auf
diese Gründe. Geschieht hier dasselbe, wie wenn
man über die Ursachen eines Ereignisses nachdenkt? || wenn man darüber nachdenkt, was die
Ursachen eines Ereignisses gewesen sein
mögen? |
27.
Wie kann man Vorbereitungen zum Empfang von etwas eventuell
Existierendem treffen? || , – in dem
Sinn in welchem Russell
& Ramsey das
(immer) tun wollten? Man
bereitet etwa die Logik für die Existenz
von vielstelligen Relationen vor, oder für die Existenz
einer unendlichen Anzahl von Gegenständen. –
|
Nun kann man doch für die
Existenz eines Dinges vorsorgen: Ich
mache z.B. ein Kästchen um den Schmuck
hineinzulegen, der vielleicht einmal gemacht werden wird. – Aber hier kann ich doch sagen, was der Fall sein muß,
– welcher Fall es ist, für den ich
vorsorge. Ich kann diesen Fall jetzt so gut beschreiben
[Dieser Fall läßt sich jetzt so gut beschreiben,
wie, nachdem er schon eingetreten ist; & auch dann wenn
er nie eintritt.] (Lösung
mathematischer Probleme.) |
Man denkt einerseits,
daß es die Mathematik mit der Art der Funktionen zu
tun hat & ihren
Gegenständen || Argumenten von
deren Anzahlen sie handelt. Aber man will sich nicht durch
die uns jetzt bekannten Funktionen binden lassen & man
weiß nicht ob jemals eine gefunden werden wird die
100 Argumentstellen hat; also muß man vorsorgen &
eine Funktion konstruieren die alles für die
100-stellige Relation vorbereitet, wenn sich eine finden
sollte. – Was heißt es aber
überhaupt:
„es finden sich (oder: es gibt) eine
100-stellige Relation? Welchen Begriff haben
wir von ihr? oder auch von einer 2-stelligen? –
Als Beispiel einer 2-stelligen Relation gibt man etwa
das || die zwischen Vater & Sohn.
Aber welche Bedeutung hat dieses Beispiel für die weitere
logische Behandlung der 2-stelligen
Relationen? Sollen wir uns jetzt statt jedes
„aRb” vorstellen „a ist der
Vater des b”? – Wenn aber nicht, ist
dann das Beispiel, – oder irgend
eins überhaupt, essentiell?
Spielt dieses Beispiel nicht die gleiche Rolle wie eines in
der Arithmetik, wenn ich jemandem
3 × 6 =
18 an 3 Reihen zu je 6 Äpfeln
erkläre? Hier handelt es ich um den || unsern Begriff der Anwendung. – Man hat etwa die Vorstellung von einem Motor, der erst leer geht & dann eine Arbeitsmaschine treibt. |
Aber was gibt die Anwendung der
Rechnung? || Aber was erhält die Rechnung
von ihrer Anwendung?
Fügt sie ihr einen neuen Kalkül zu? dann ist
sie ja jetzt eine andere Rechnung. Oder gibt sie
ihr in irgend einem, der Mathematik
(Logik) wesentlichen, Sinne
Substanz? Wie kann man dann überhaupt, auch nur
zeitweise, von der Anwendung absehen? |
Nein, die Rechnung mit Äpfeln ist wesentlich
dieselbe, wie die mit Strichen oder Ziffern. Die
Arbeitsmaschine setzt den Motor fort, aber die Anwendung (in
diesem Sinne) nicht die Rechnung. |
Wenn ich nun sage: „die Liebe
ist ein Beispiel einer 2-stelligen Relation”, – || Wenn ich nun, um ein Beispiel zu geben sage:
„die Liebe ist eine 2-stellige
Relation”, – sage ich hier etwas
über die Liebe aus? Natürlich nicht. Ich gebe eine Regel für den Gebrauch des Wortes „Liebe” & will etwa sagen, daß wir dieses |
Nun hat man aber doch das Gefühl, daß
mit dem Hinweis auf die 2-stellige Relation
‚Liebe’ in die Hülse des Relationskalküls
Sinn gesteckt wurde. – Denken wir uns eine
geometrische Demonstration statt an einer Zeichnung oder an
analytischen Symbolen an einem
Lampenzylinder vorgenommen || durchgeführt. Inwiefern ist hier
von der Geometrie eine Anwendung gemacht? Tritt
denn der Gebrauch des Glaszylinders als Lampenglas in die
geometrische Überlegung ein? Und tritt der
Gebrauch des Wortes Liebe in einer Liebeserklärung in meine
Überlegungen über die 2-stelligen Relationen
ein? |
Wir haben es mit
verschiedenen Verwendungen, Bedeutungen, des Wortes
„Anwendung” zu tun. „Die
Multiplikation wird in der Division
angewandt”; „der Glaszylinder wird in der
Lampe angewandt”; „die Rechnung ist auf diese
Äpfel angewandt”. |
Hier kann man nun sagen: Die Arithmetik ist ihre
eigene Anwendung. Der Kalkül ist seine eigene
Anwendung. Wir können nicht in der Arithmetik für eine grammatische Anwendung |
Wenn also der Logiker sagt, er habe für
eventuell existierende 6-stellige Relationen in
der Arithmetik vorgesorgt, so können wir fragen: Was
wird denn nun zu dem, was Du vorbereitet hast, hinzukommen || hinzutreten, wenn es seine Anwendung findet || finden wird? Ein neuer
Kalkül? – aber den hast Du ja eben nicht
vorbereitet. Oder etwas, was den Kalkül nicht
tangiert? – dann interessiert uns das nicht & der
Kalkül, den Du uns gezeigt hast ist uns Anwendung
genug. |
Die
unrichtige Idee ist, daß die Anwendung eines Kalküls in der
Grammatik der wirklichen Sprache, ihm eine Realität
zuordnet, eine Wirklichkeit gibt, die er früher nicht
hatte. || Die unrichtige Idee ist: die
Anwendung eines Kalküls auf die wirkliche Sprache
|
Aber, wie gewöhnlich in unserem
Gebiet, liegt hier der Fehler nicht darin, daß man etwas
Falsches glaubt sondern darin daß man auf eine
irreführende Analogie hinsieht. |
Was geschieht denn, wenn die 6-stellige
Relation gefunden wird? Wird quasi ein Metall
gefunden, das nun die gewünschten (vorher
beschriebenen) Eigenschaften (das richtige spezifische
Gewicht, die Festigkeit, etc.)
hat? Nein; ein Wort wird gefunden, das wir
tatsächlich in unsrer Sprache so verwenden, wie wir etwa den
Buchstaben R verwendet haben. „Ja,
aber dieses Wort hat doch Bedeutung &
„R” hatte keine! Wir sehen also
jetzt daß dem „R” etwas entsprechen
kann”. Aber die Bedeutung des Wortes besteht ja
nicht darin, daß ihm etwas entspricht. Außer etwa, wo
es sich um Namen & benannten Gegenstand handelt, aber da setzt
der Träger des Namens nur den Kalkül fort, also die
Sprache. Und es ist nicht so, wie wenn man
sagt: „diese Geschichte hat sich tatsächlich
zugetragen, sie war nicht bloße Fiktion”.
|
Das alles
hängt auch mit dem falschen Begriff der logischen Analyse
zusammen den Russell,
Ramsey & ich
hatten. So daß man auf eine endliche logische Analyse
der Tatsachen wartet, wie auf eine chemische von Verbindungen.
Eine Analyse, durch die man dann etwa eine 7-stellige Relation
wirklich findet, wie ein Element, das tatsächlich das
spezifische Gewicht 7 hat. |
Die Grammatik ist für uns ein reiner
Kalkül. (Nicht die Anwendung eines auf die
Realität.) |
28. „Es gibt nur 4 rote Dinge, aber die
bestehen nicht aus 2 & 2, weil es keine Funktion gibt, die sie
zu je zweien unter einen Hut bringt.” Das hieße
den Satz 2 + 2 =
4 etwa so auffassen: Wenn auf einer Fläche 4
Kreise zu sehen sind, so haben je zwei von ihnen immer eine
bestimmte
Eigentümlichkeit mit einander
gemein; sagen wir etwa ein Zeichen innerhalb des
Kreises. (Dann sollen natürlich auch je 3 der
Kreise ein Zeichen gemeinsam haben,
etc.). Denn wenn ich
überhaupt etwas über die Wirklichkeit annehme, warum
nicht das? Das „axiom of
reducibility” ist wesentlich von keiner andern
Art. In diesem Sinne könne man sagen, daß zwar
|
Man möchte sagen: 4 muß
nicht immer aus 2 & 2 bestehen, aber es kann, wenn es wirklich
aus Gruppen besteht aus 2 & 2 wie aus 3 & 1
etc. bestehen; aber nicht aus 2 & 1 oder 3
& 2, etc., & so bereiten wir eben
alles für den Fall vor daß 4 in Gruppen zerlegbar
ist. Aber dann hat es eben die Arithmetik gar nicht mit der
Wirklichen Zerlegung zu tun, sondern nur mit jener
Möglichkeit der Zerlegung.2
Die Behauptung könnte ja auch die sein, daß von einer Gruppe von 4 Punkten auf dem Papier, immer je zwei durch einen Strich verbunden sind. || Die Behauptung könnte ja auch die sein, daß, wenn immer ich eine Gruppe von 4 Punkten auf einem Papier sehe, je zwei von ihnen durch |
Dazu kommt nun, daß, z.B.,
die Aussage, daß in einem weißen
Viereck zwei schwarze Kreise zu sehen sind, nicht die Form
„(∃x,y)
etc.” hat. Denn gebe
ich den Kreisen Namen, dann beziehen sich diese Namen gerade auf die
Orte der Kreise & ich kann nicht von ihnen sagen, sie seien
entweder in dem einen oder dem andern Viereck. Ich kann
wohl sagen: „in beiden Vierecken zusammen sind 4
Kreise”, aber das heißt nicht, daß ich von jedem
einzeln sagen kann daß er ¤ im einen oder
andern Viereck sei. Denn der Satz „dieser Kreis
ist in diesem Viereck” ist im angenommenen Fall
sinnlos. |
Was bedeutet nun
der Satz „in den 2 Vierecken zusammen sind 4
Kreise”? Wie konstatiere ich das?
Indem ich die Zahlen in beiden addiere? Die Zahl der
Kreise in beiden Vierecken zusammen, bedeutet also dann das
Resultat der Addition der beiden Zahlen. – Oder
|| ist es etwa das Resultat
einer besondern || eigenen
Zählung die durch beide Vierecke geht; oder die Zahl von Strichen
die ich erhalte, wenn ich einen Strich |
Sind in diesen
beiden Kreisen zusammen 9 Punkte oder 7? Wie man es
gewöhnlich versteht, 7. Aber muß ich es so
verstehen? Warum soll ich nicht die Punkte, die beiden
Kreisen gemeinsam angehören doppelt zählen:
Anders ist es, wenn man fragt: „wieviel Punkte sind innerhalb der stark ausgezogenen Grenze? Denn hier kann ich sagen: es sind 7 in dem Sinne in welchem in den Kreisen 5 |
Man könnte nun sagen: die
Summe von 4 & 5 nenne ich die Zahl, die || welche die, unter den Begriff φx ⌵ ψx
fallenden Gegenstände haben, wenn
(Е4x) φx ∙ (Е5x) ψx
.Ind.
der Fall
ist. Und zwar heißt das nun nicht, daß die
Summe von 4 & 5 nur in der Verbindung mit Sätzen von der
Art (∃4x) ∙ φx
etc. verwendet werden darf, sondern es
heißt: Wenn Du die Summe von n & m
bilden willst, setze die Zahlen links von
„. ⊃ .”
in die Form (∃nx) φx ∙ (∃mx) ψx
etc. ein, & die Zahl die rechts
stehen muß um aus dem ganzen Ausdruck || Satz eine
Tautologie zu machen, ist die Summe von m &
n. Dies ist also eine Additionsmethode,
& zwar eine äußerst umständliche.
|
Vergleiche:
„Wasserstoff & Sauerstoff geben
zusammen Wasser” – „2 Punkte & 3 Punkte
geben zusammen 5 Punkte”. |
Bestehen denn z.B. 4 Punkte in
meinem Gesichtsfeld die ich „als 4”, nicht
„als 2 & 2 sehe”, aus
2 & 2? Ja, was heißt das? Soll es
heißen, ob sie in irgend einem Sinne in
Gruppen von je 2 Punkten geteilt waren? Gewiß
nicht. (Denn dann müßten sie ja wohl auch in
allen andern denkbaren Weisen geteilt sein.) Heißt
es, |
„Bestehen 4 Punkte aus 2
& 2” kann eine Frage nach einer physikalischen oder
optischen || visuellen Tatsache
sein; dann ist es nicht die Frage der
Arithmetik. Die arithmetische Frage könnte aber
allerdings in der Form gestellt werden:
„Kann eine Gruppe von 4 Punkten aus
getrennten Gruppen von je 2 Punkten bestehen”.
|
„Wie kann man Vorbereitung
für etwas eventuell
Existierendes treffen” heißt:
Wie kann man die Arithmetik auf eine Logik aufbauen, in der man
im speziellen noch Resultate einer Analyse
der || unserer Sätze erwartet,
& dabei für alle eventuellen Resultate durch eine
Konstruktion a priori aufkommen wollen?
– Man will sagen: „Wir wissen nicht, ob
es sich nicht herausstellen wird, daß es keine Funktionen mit
4 Argumentstellen geben wird || gibt, oder daß
es nur 100 Argumente gibt die Treffen wir etwa die Vorbereitung || Vorbereitungen für die Existenz von 100 Gegenständen, indem wir 100 Namen einführen & einen Kalkül mit ihnen. Und nehmen wir jetzt an es werden wirklich 100 Gegenstände gefunden. Aber wie ist das, wenn jetzt den Namen Gegenstände zugeordnet werden, die ihnen früher nicht zugeordnet waren? ändert sich jetzt der Kalkül? was hat diese Zuordnung überhaupt |
Daß das axiom of infinity nicht
das ist, wofür Russell es gehalten hat, daß es weder ein Satz der Logik
noch auch – wie es da steht – ein Satz der Physik ist,
ist klar. Ob der Kalkül damit in eine ganz
andre Umgebung gebracht (in ganz anderer
„Interpretation”) irgend eine praktische Anwendung finden
könnte, weiß ich nicht. Von den logischen Begriffen z.B. von dem (oder: einem) der Unendlichkeit könnte man sagen: ihre Essenz beweise ihre Existenz. |
„Angenommen, ich glaubte, es gäbe überhaupt nur
eine Funktion & die 4 Gegenstände die sie
befriedigen. Später komme ich darauf, daß sie noch
von einem fünften Ding
befriedigt wird; ist jetzt das Zeichen ‚4’
sinnlos geworden?” – Ja, wenn im
Kalkül die 4 nicht existiert, dann ist
‚4’ sinnlos. || Ja, wenn es
im Kalkül die 4 nicht gibt, dann ist
sie || ‚4’
sinnlos. |
29. Wenn man sagt es wäre möglich mit Hilfe
der Tautologie (Е2x) φx ∙ (Е3x) ψx ∙ Ind . ⊃ . (Е2 + 3 || 5x) φx ⌵ ψx … ¤ A)
So geht also aus den Regeln hervor daß (Еx)(Еx) ⊃ (Еx,y), (Еx,y)(Еx) ⊃ (Еxyz) und andere Tautologien. Ich schreibe „und andere” & nicht „u.s.w. ad¤ inf.” weil man mit diesem Begriff noch nicht operieren muß. Unser Kalkül braucht überhaupt noch nichts von der Bildung einer Reihe ‚(Еx)’, ‚(Еxy)’, ‚(Еxyz)’, etc. zu wissen sondern kann einfach einige, etwa drei, dieser Zeichen einführen ohne das „u.s.w.”. Wir können nun einen Kalkül mit einer endlichen Reihe von Zeichen einführen indem wir die || eine Reihenfolge gewisser Zeichen festsetzen, etwa die der Buchstaben des Alphabets, & schreiben (Еa)(Еa) ⊃ (Еab) (Еab)(Еa) ⊃ (Еabc) (Еab)(Еab) ⊃ (Еabcd) u.s.w. bis zum z. Die rechte Seite (rechts von „ ⊃ ”) kann man dann aus der linken durch einen Kalkül der Art finden:
B)
Dieser Kalkül a + a ≝ ab a + ab ≝ abc u.s.w. bis z. Hätte man an einigen Beispielen die Regel des Kalküls B erklärt, so könnte man auch diese Definitionen als Spezialfälle einer allgemeinen Regel betrachten & nun Aufgaben stellen von der Art: „abc + ab = ?” Es liegt nun nahe die Tautologie α) (Е ab)(Е ab) ⊃ (Е abcd) mit der Gleichung β) ab + ab = abcd zu verwechseln. – Aber diese ist eine Ersetzungsregel jene ist keine Regel, sondern eben eine Tautologie. Das Zeichen „ ⊃ ” in α entspricht in keiner Weise dem „ = ” in β. Man vergißt daß das Zeichen „ ⊃ ” in α ja nicht sagt daß die beiden Zeichen rechts & links von ihm eine Tautologie ergeben. Dagegen könnte man einen Kalkül konstruieren in welchem die Gleichung ξ + η = ζ als eine Transformation erhalten wird aus der Gleichung: γ) (Еξ(Еη) ⊃ (Еζ) = Taut. |
Sodaß ich also sozusagen
ζ = ξ + η erhalte,
|
30. Wie tritt der Begriff der Summe in diese
Überlegungen ein? –
Im ursprünglichen Kalkül der
etwa feststellt, daß z.B.
die Form (Еξ)(Еη) ⊃ (Еζ) (δ z.B. tautologisch wird für ξ = xy, η = x & ζ = xyz ist von einer Summierung nicht die Rede. – Dann bringen wir ein Zahlensystem in den Kalkül (etwa das System abcd … z). Und endlich definieren wir die Summe zweier Zahlen als diejenige Zahl ζ welche die Gleichung γ löst. |
(Wenn wir statt
„(Еx)(Еx)
⊃ (Еx,y)”
schrieben: „(Еx)(Еx)
⊃ (Еx + x)”, so
hätte das keinen Sinn; es sei denn, daß die Notation von
vornherein nicht λ) „(Еx) etc.”, „(Еxy) etc.”, „(Еxyz) etc.”, lautet sondern κ) „(Еx) etc.”, „(Еx + x) etc.”, „(Еx + x + x) etc.”. Denn warum sollten wir plötzlich statt „(Еxy) (Еx) ⊃ (Еxyz)” schreiben „(Еxy) (Еx) ⊃ (Еxy + x)”? das wäre nur eine Verwirrung der Notation. – Nun sagt man: Es vereinfacht doch das Hinschreiben der Tautologie sehr, wenn man in der rechten Klammer gleich die Ausdrücke der beiden linken hinschreiben kann. Aber diese Schreibweise ist ja noch gar nicht erklärt; ich weiß ja nicht, was (Еxy + x) bedeutet, daß nämlich (Еxy + x) = (Еxyz). |
Wenn man aber von vornherein
die Notation „(Еx)”,
„(Еx + x)”,
„(Еx + x + x)”
so hätte vorerst nur der Ausdruck
„(Еx + x + x +
x)” Sinn, aber nicht
„(Е(x + x)
+ (x + x))”.
Die Notation κ ist auf einer Stufe mit || im gleichen Fall wie ι. Daß || Ob sich in der Form δ eine Tautologie ergibt kann man etwa kurz durch das Ziehen von Verbindungslinien kalkulieren also: (Еxy)
(Еxy) ⊃ (Еxyzu)(Ƒ)
& analog
(Еx + x)
(Еx + x) ⊃ (Еx + x + x + x).(Ƒ)
Die Bögen || Verbindungslinien
entsprechen nur der Regel, die in jedem Fall für die
Kontrolle der Tautologie gegeben sein muß. Von
einer Addition ist hier noch keine Rede.
Sie || Die tritt
erst ein, wenn ich mich entschließe z.B.
– statt
„xyzu”
„xy + xy” zu
schreiben, & zwar in Verbindung mit einem
Kalkül der nach Regeln die Ableitung einer Ersetzungsregel
„xy + xy =
xyzu” erlaubt. Addition liegt
auch dann nicht vor wenn ich in der Notation
κ schreibe
„(Еx)(Еx)
⊃ (Еx + x)”,
sondern erst wenn ich zwischen „x + x” & „(x) + (x)” unterscheide & schreibe ) (Ƒ)
(x) + (x)
= (x + x). |
Ich kann
„die Summe von
ξ und
η”
(„ξ + η”)
als das || die Zahl
ζ definieren
(oder: „den
Ausdruck” – wenn wir uns scheuen das
Wort Zahl zu gebrauchen) – ich kann
„ξ + η” als die Zahl
ζ definieren, die den Ausdruck
δ tautologisch macht; – ich || man kann aber auch
„ξ + η”
, z.B., durch den Kalkül
B definieren (unabhängig von dem der Tautologien)
|
Eine Frage, die sich leicht einstellt
ist die: müssen wir
die Kardinalzahlen in Verbindung mit der Notation
(∃x,y, …)
φx ∙ φy … einführen?
Ist der Kalkül der Kardinalzahlen irgendwie an den mit
den Zeichen
„(∃x,y, …)
φx ∙ φy …”
gebunden? Ist etwa der letztere die einzige, &
vielleicht wesentlich einzige, Anwendung der
Kardinalzahlen || des ersten || ersteren? Was die
„Anwendung der Kardinalarithmetik auf die || in
der Grammatik” betrifft so kann man
auf das verweisen was wir über den Begriff der Anwendung eines
Kalküls gesagt haben.
– Man könnte nun die || unsere
Frage auch so stellen: Kommen die Kardinalzahlen in den
Sätzen unserer Sprache immer hinter dem Zeichen
∃ vor: wenn wir
uns nämlich die Sprache in die Russellsche Notation übersetzt denken?
Diese Frage hängt unmittelbar mit der zusammen:
Wird das Zahlzeichen in unserer || der Sprache immer als Charakterisierung eines Begriffes
– einer Funktion – gebraucht? Die Antwort
darauf ist, daß unsere Sprache die Zahlzeichen immer in
Verbindung mit || als Attribute von Begriffswörtern
gebraucht – daß aber diese Begriffswörter unter sich
gänzlich verschiedenen grammatischen Systemen angehören
(was man daraus sieht daß das eine in Verbindungen
einen Sinn |
Übrigens ist das Zahlzeichen
– || , jetzt in einem andern Sinne,
nicht mit ∃ verbunden:
insofern nämlich
„(∃3x) …”
nicht in
„(∃2 + 3x) …”
vorkommt || enthalten ist. || insofern || da nämlich
„(∃3)x …”
nicht in
„(∃2 + 3)x …”
enthalten ist. |
Es
besteht eine Versuchung die Form der Gleichung für die
Form von Tautologien &
Kontradiktionen zu halten
& zwar darum weil es scheint als könne man sagen
x = x ist
selbstverständlich wahr (&)
x = y ebenso
selbstverständlich falsch. Eher noch kann man natürlich sagen, daß x = x die Rolle einer Tautologie spielt, als x = y die der Kontradiktion, da || x = x mit einer Tautologie vergleichen, als x = y mit einer Kontradiktion, da ja alle richtigen (und „sinnvollen”) Gleichungen der Mathematik von der Form x = y sind. Man könnte sagen x = x ist eine degenerierte Gleichung || x = x eine degenerierte Gleichung nennen (Ramsey nannte sehr richtig Tautologien & Kontradiktionen ◇ degenerierte Sätze) & zwar eine richtige degenerierte Gleichung (den Man könnte nun einwenden daß richtige Gleichungen der Form x = y auch Tautologien & || dagegen falsche Kontradiktionen sein müßten weil man ja die richtige Gleichung muß beweisen können & das, indem man die beiden Seiten der Gleichung transformiert bis eine Identität x = x herauskäme. Aber obwohl durch diesen Prozeß die erste Gleichung als richtig erwiesen ist & insofern die Identität x = x das Endziel der Transformationen war so ist sie nicht das Endziel in dem Sinne als hätte man durch die Transformationen der Gleichung ihre richtige Form geben wollen, wie man einen krummen Gegenstand zurechtbiegt, & als habe sie nun in der Identität diese vollkommene Form (endlich) erreicht. Man kann also nicht sagen: die richtige Gleichung ist ja eigentlich eine Identität. Sie ist eben keine Identität. |
1.5.
Wenn wir von den mittels
„ = ” konstruierten
Funktionen (x = a ∙ y = b
. ⌵ . x = c ∙ y = d
etc.) || (x = a ⌵ x = b
etc.) absehen so wird nach
Russells Theorie
5 =
1, wenn es keine Dieses Problem hängt damit zusammen daß ich in der hinweisenden Definition von dem Paradigma (Muster) nichts aussage sondern nur mit seiner Hilfe Aussagen mache; daß es zum Symbolismus gehört & nicht einer der Gegenstände ist, auf den ich ihn anwende. So kann man von der Gruppe der Striche welche etwa als Paradigma der 3 steht nicht sagen es bestehe aus 3 Strichen. „Wenn dieser Satz nicht wahr ist, so gibt es jenen || jener Satz nicht wahr ist, so gibt es diesen Satz gar nicht” – das heißt: „wenn es diesen Satz nicht gibt, so gibt es ihn nicht”. Und ein Satz kann das Paradigma im andern nie beschreiben, sonst ist es eben nicht Paradigma. Wenn die Länge des Einheitsstabes durch eine Beschreibung gegeben || die Längenangabe daß „1 Fuß” beschrieben werden kann, dann ist er nicht mehr das Paradigma der Längeneinheit, denn sonst müßte jede Beschreibung einer Länge || Längenangabe mit seiner Hilfe gemacht |
Ein
Satz „~(∃φ):
(Еx) ∙ φx” muß,
wenn wir ihm überhaupt einen Sinn geben von der Art
dessen || des Satzes sein:
„es gibt keinen Kreis auf dieser Fläche der nur einen
schwarzen Fleck enthält”. (Ich
meine: er muß einen ähnlich
bestimmten Sinn haben; & nicht vag bleiben wie er in
der Russellschen Logik
& in meiner ¤
Abhandlung wäre.
Wenn nun aus den Sätzen „~(∃φ): (Еx) φx” … (ρ & ~(∃φ): (Еx,y) φx ∙ φy … (σ folgt, daß 1 = 2 ist, so ist hier mit „1” & „2” nicht das gemeint, was wir sonst damit meinen, denn die Sätze ρ und σ würden in der Wortsprache lauten: „es gibt keine Funktion, die nur von einem Ding befriedigt wird” & „es gibt keine Funktion die nur von 2 Dingen befriedigt wird”. Und dies sind nach den Regeln unserer Sprache Sätze mit verschiedenem Sinn. |
Man ist versucht zu sagen: „Um
„(∃x,y) ∙ φx ∙ φy”
ausdrücken zu können || auszudrücken
brauchen wir 2 Zeichen „x” &
„y”. Aber das heißt
nichts. Was
wir dazu brauchen ist vielleicht Papier &
Feder; & der Satz heißt sowenig wie:
„um ‚p’ auszudrücken
brauchen wir ‚p’.” || Was wir dazu brauchen, sind, etwa, die Schreibutensilien, aber nicht die Bestandteile des Satzes. Ebensowenig hieße: || Vergleiche nur mit dem oberen: „Um „(∃x,y) ∙ φx ∙ φy” auszudrücken, brauchen wir das Zeichen „(∃x,y) ∙ φx ∙ φy”.” |
5.
„Welchen Sinn hat ein Satz der Art
‚(∃n) 3 + n =
7’?” Man ist hier in einer
seltsamen Schwierigkeit: einerseits empfindet man es
als Problem, daß der Satz die Wahl zwischen unendlich vielen
Werten von n hat, andrerseits scheint
uns der Sinn des Satzes in sich gesichert & nur
für uns (etwa) noch zu erforschen
da wir doch „wissen was
‚(∃x) ∙ φx’
bedeutet”. Wenn Einer sagte, er
wisse nicht was „(∃n) 3 + n =
7” bedeute || welchen Sinn
„(∃n) ∙ 3 + n
= 7” habe, so würde man ihm
antworten: „aber Du weißt doch was dieser Satz
sagt: 3 + 0 =
7 ⌵ 3 + 1 = 7 ⌵ 3 + 2 = 7 und
so weiter!” Aber darauf kann man
antworten: „Ganz richtig! – der
Satz ist also keine logische Summe, denn die endet nicht mit
‚und so weiter’ & das worüber ich nicht
klar bin ist eben diese Satzform
‘φ(0) ⌵ φ(1)
⌵ φ(2) ⌵
u.s.w.’ und
Du hast mir nur statt der ersten unverständlichen
Satzform || Satzart eine
zweite gegeben & zwar mit dem Schein als gäbest Du mir
etwas Altbekanntes, nämlich eine
Disjunktion.” Wenn wir nämlich meinen daß wir doch unbedingt „(∃n) etc.” verstehen so denken wir zur Rechtfertigung an andre Fälle des Gebrauchs der Notation „(∃ …) …” beziehungsweise der Ausdrucksform „es gibt …” unserer Wortsprache. Darauf kann man aber nur sagen: Du vergleichst also den Satz „(∃n) …” mit jenem Satz „es gibt ein Haus in dieser Stadt welches …”, oder |
Wir werden uns zuerst fragen
müssen: Ist der mathematische Satz bewiesen?
& wie? Denn der Beweis gehört zur
Grammatik des Satzes! – Daß das
so oft nicht eingesehen wird kommt
daher daß wir hier wieder auf der Bahn einer uns
irreführenden Analogie denken. Es ist wie
gewöhnlich in diesen Fällen eine Analogie aus unserm
wissenschaftlichen || naturwissenschaftlichen
Denken. Wir sagen z.B.
„dieser Mann ist vor 2 Stunden gestorben”
& wenn man uns fragt „wie läßt sich das
feststellen”, so können wir eine Reihe von
Anzeichen (Symptomen) dafür
angeben. Wir lassen aber auch die Möglichkeit
dafür offen daß etwa die Medizin bis jetzt
Der ‚medizinische Beweis’ hat die Hypothese die er bewiesen hat nicht in einen neuen Kalkül eingegliedert & ihm also keinen neuen Sinn gegeben; der mathematische Beweis gliedert den mathematischen Satz in einen neuen Kalkül ein, er verändert seine Stellung in der Mathematik. Der Satz mit seinem Beweis gehört einer andern Kategorie an als der Satz ohne den Beweis. (Der unbewiesene mathematische Satz ist ein || dient als || zum || – Wegweiser der mathem. Forschung (d.h. Anregung) zu mathematischen Konstruktionen.) |
6.
„Alle Zahlen haben vielleicht die Eigenschaft
ε”.
Wieder ist die Frage: was ist die Grammatik dieses
allgemeinen Satzes? Denn damit ist uns nicht gedient,
daß wir die Verwendung des Ausdrucks „alle
…” in andern grammatischen Systemen kennen.
Sagt man: „Du weißt doch was es heißt!
es heißt: „ε(0) ∙
ε(1) ∙ ε(2)
u.s.w.” so ist damit wieder
nichts erklärt; außer, daß der Satz kein
logisches Produkt ist. Und man wird, um die Grammatik
des Satzes verstehen zu lernen, fragen: Wie
gebraucht man diesen Satz? Was sieht man als
Kriterium seiner Wahrheit an?
Was ist seine Verifikation? Wenn
keine Methode vorgesehen ist um zu entscheiden ob der Satz wahr oder
falsch ist, ist er ja zwecklos
& d.h. sinnlos. Aber hier
kommen wir nun zur Illusion, daß Erinnere Dich daran, daß, in dem Sinne, in welchem es unmöglich ist eine unendliche Anzahl von Sätzen zu prüfen, es auch unmöglich ist das || es zu versuchen. – Wenn wir uns mit den Worten „Du weißt doch was „alle …” || ‚alle …’ heißt” auf die Fälle berufen in welchen diese Redeweise gebraucht wird, so kann es uns doch nicht gleichgültig sein wenn wir einen Unterschied |
„Alle
Punkte dieser Fläche sind weiß”. Wie
verifizierst Du das? – dann werde ich wissen was es
heißt. |
„Den
mathematischen Satz kann man sich vorstellen als ein Lebewesen, das
selbst weiß, ob es wahr oder falsch ist.
(Zum Unterschied von den empirischen Sätzen || Sätzen der Empirie.) Der mathematische Satz weiß selbst, daß er wahr oder daß er falsch ist. Wenn er von allen Zahlen handelt, so muß Wie der Sinn, so muß auch seine Wahrheit oder Falschheit in ihm liegen.” |
„Es ist als wäre die Allgemeinheit eines Satzes
‚(n) ∙ ε(n)’
nur eine Anweisung auf die eigentliche, wirkliche, mathematische
Allgemeinheit eines Satzes. Gleichsam nur eine
Beschreibung der Allgemeinheit, nicht diese selbst.
Als bilde der Satz nur auf rein äußerliche Weise ein
Zeichen, dem erst von innen Sinn gegeben werden
muß.” |
„Wir fühlen: Die Allgemeinheit,
die die mathematische Behauptung hat, ist anders als
die Allgemeinheit des Satzes der bewiesen ist.” |
„Man könnte sagen: ein
mathematischer Satz ist der Hinweis auf einen
Beweis.” |
Wie wäre es, wenn ein Satz seinen Sinn selber nicht ganz
erfaßte. Wenn er sich quasi selber zu hoch
wäre? – Und das nehmen eigentlich die Logiker
an. |
Den Satz, der
von allen Zahlen handelt kann man sich nicht durch ein
unendliches || endloses Schreiten
verifiziert denken, denn wenn das Schreiten endlos ist so führt
es ja eben nicht zu einem Ziel. Denken wir uns eine unendlich lange Baumreihe, & ihr entlang damit wir sie inspizieren können einen Weg. Sehr |
Man kann auch nicht sagen: „Der
Satz kann alle Zahlen nicht sukzessive
erfassen, so muß er sie durch den Begriff fassen”,
– als ob das faute de mieux so wäre:
„Weil er es so nicht kann, muß er es auf
andre Weise tun.” Aber ein
sukzessives Erfassen ist schon
möglich nur führt es eben nicht zur Gesamtheit.
Diese liegt: nicht auf dem Weg den wir
schrittweise gehn, & nicht: am unendlich fernen
Ende dieses Weges. (Das alles heißt nur
„ε(0) ∙ ε(1) ∙ ε(2) ∙
u.s.w.” ist nicht das Zeichen
eines logischen Produkts.) |
„Alle Zahlen können nicht zufällig
eine Eigenschaft ε besitzen;
sondern nur ihrem Wesen (als Zahlen)
nach.” – Der Satz
„alle || die Menschen, welche
rote Nasen haben sind gutmütig”
hat auch dann nicht denselben Sinn wie der Satz
„die Menschen welche Wein trinken sind
gutmütig” wenn die Menschen welche rote Nasen haben eben
die sind die Wein trinken.
Dagegen: wenn die Zahlen
m, n,
o der Umfang eines mathematischen Begriffs
f sind, so daß also
fm ∙ fn ∙ fo der
Fall ist, dann hat der Satz
Sehen wir uns nun den Satz an: „alle n Zahlen welche der Bedingung F(ξ) genügen, haben zufälligerweise die Eigenschaft ε.” Da kommt es drauf an ob die Bedingung F(ξ) eine mathematische ist. Ist sie das, nun dann kann ich ja aus F(x) ε(x) ableiten, wenn auch nur über die Disjunktion der n Werte von F(ξ). (Denn hier gibt es eben eine Disjunktion). Hier werde ich also nicht von einem Zufall reden. – Ist die Bedingung eine nicht-mathematische, so wird man dagegen von einem || vom Zufall reden können. Z.B. wenn ich sage: alle Zahlen die ich heute auf den Omnibussen gelesen habe waren zufällig Primzahlen. (Dagegen kann man natürlich nicht sagen: „die Zahlen 17, 3, 5, 31, sind zufällig Primzahlen”, ebensowenig wie: „die Zahl 3 ist zufällig eine Primzahl”.) „Zufällig” ist wohl der Gegensatz von „allgemein ableitbar”; aber man kann sagen: der Satz „17, 3, 5, 31 sind Primzahlen” ist allgemein ableitbar so sonderbar das klingt, wie auch der Satz 2 + 3 = 5. Sehen wir nun zu unserm ersten Satz zurück, so fragen wir wieder: wie soll denn der Satz „alle Zahlen haben die Eigenschaft |
In der Mathematik
sind Beschreibung & Gegenstand äquivalent.
„Die fünfte Zahl der Zahlenreihe hat diese
Eigenschaften” sagt dasselbe wie „5 hat
diese Eigenschaften”. Die Eigenschaften
eines Hauses folgen nicht aus seiner Stellung in einer
Häuserreihe; dagegen sind die Eigenschaften einer
Zahl die Eigenschaften einer Stellung. |
Welche seltsame Frage: „kann man sich
eine endlose Baumreihe denken?”!
Wenn man von einer ‚endlosen Baumreihe’ spricht,
so wird doch, was man meint, mit den Erfahrungen zusammenhängen,
die man „das Sehen der Baumreihe”, „das
Zählen einer Baumreihe”, „das Messen einer
Baumreihe”, etc. nennt.
„Können wir uns eine unendliche Baumreihe
denken”! Gewiß, wenn wir festgesetzt haben,
was darunter zu verstehen ist; d.h.: wenn
wir diesen Begriff mit all dem in Verbindung gebracht haben, mit den
Erfahrungen die für uns den Begriff der Baumreihe
bestimmen. Was ist das Kriterium in der Erfahrung |
„Aber wir kennen doch eine Erfahrung wenn
wir eine Baumreihe entlang gehen die wir das Aufhören
der Reihe nennen können. Nun, eine endlose Baumreihe
ist eine solche an der wir diese Erfahrung nie
machen.” – Aber was bedeutet hier
„nie”? Ich kenne eine Erfahrung die ich
mit den Worten beschreibe: „er
hat in dieser Stunde nie gehustet” oder „er hat in
seinem Leben nie gelacht”. Von einer
entsprechenden || analogen
Erfahrung kann nicht gesprochen werden wenn sich das
„nie” nicht auf ein Zeitintervall
bezieht. Die Analogie läßt uns also hier wieder im
Stich & ich muß von neuem untersuchen wie das Wort
„nie” in diesem Falle sinnvoll verwendet
werden kann. – Solche Verwendungen lassen sich
nun allerdings finden aber sie sind eben eigens auf ihre Regeln zu
untersuchen. Es kann |
Reden wir nun von einem endlosen Leben im Sinne einer Hypothese
(vergl. Trägheitsgesetz) &, der es
lebt, wählt nach einander aus den
Brüchen zwischen 1 & 2, 2 & 3, 3 & 4
etc.. ad¤ inf.
einen beliebigen Bruch aus
& schreibt ihn auf. Erhalten wir so eine
„Selektion aus allen jenen Intervallen”?
Nein, denn sein Wählen hat kein Ende. Es hat keinen
Sinn jemals von ihm zu sagen, er habe die Selektion beendet.
Kann ich aber nicht sagen, daß doch alle Intervalle an die Reihe
kommen müssen, da ich keines nennen kann das nicht an die Reihe
käme? Aber daraus, daß er jedes
Intervall einmal
erreichen wird, folgt doch nicht daß er alle einmal erreicht haben
wird. Denn, wenn wir das Wort erreichen so verwenden,
daß „er etwas zu einer bestimmten Zeit
erreicht” (d.h. in diesem
grammatischen Zusammenhang), dann heißt, daß er
„jedes Intervall einmal erreicht” etwa: daß
er das erste in der ersten Sekunde, das
zweite in der zweiten, das dritte in || nach der ersten Sekunde, das
zweite nach der zweiten, das dritte nach der dritten erreicht
u.s.w. ad inf.¤ Es wird also
hier ein Gesetz mit dem Ausdruck
u.s.w. ad inf. gegeben.
Dann hieße aber, daß er alle Intervalle erreicht,
daß er sie zu einer bestimmten Zeit erreicht, der
Prozeß also zu einem Ende kommt, was der
„Denken wir uns aber nun einen Mann der im Auswählen aus den Intervallen eine immer größere Übung bekäme, so daß er zur ersten Wahl eine Stunde zur zweiten eine halbe, zur dritten ein Viertel brauchte, u.s.w. ad inf. Dann würde der ja in zwei Stunden mit der ganzen Arbeit fertig!” Stellen wir uns einmal den Vorgang vor. Das Auswählen bestünde etwa im Aufschreiben des Bruches also in einer Bewegung der Hand. Diese Bewegung würde nun immer schneller; so schnell sie aber auch wird so gibt es immer ein letztes Intervall das in einer bestimmten Zeit von ihr erledigt wird. Die Überlegung unseres || des Einwands beruhte auf der Bildung der Summe 1 +
|
Denken wir uns nun
aber die Hypothese jemand werde unter gewissen Umständen die Ziffern
der Zahl π (etwa im
Sechsersystem) würfeln. Diese Hypothese ist also
ein Gesetz, mit dessen Hilfe ich für jeden Wurf die Zahl der
geworfenen Augen ausrechnen kann. Wie aber, wenn wir
die Hypothese dahin modifizierten daß jemand
unter gewissen Umständen nicht
π || die Ziffern
von π werfen werde!
Sollte das nicht auch einen Sinn haben? Wie aber kann
man je wissen daß diese Hypothese richtig ist da er ja zu jeder
gegebenen Zeit π gemäß
geworfen haben mag & die Hypothese dadurch doch
nicht widerlegt ist. Aber das heißt doch eben daß wir
es hier mit einer andern Art von Hypothese zu tun haben;
einer Hypothese || mit einer Satzart
für die in ihrer Grammatik keine
Falsifikation vorgesehen ist.
Und es steht mir frei das „Satz” oder
„Hypothese” oder ganz anders zu nennen, wenn ich
will. (π ist
|
7.
Die Unendlichkeit der Zeit ist keine Ausdehnung.
|
Wenn wir fragen:
„worin besteht die Unendlichkeit der Zeit”
so wird man uns sagen: „darin, daß kein Tag der
letzte ist, daß auf jeden Tag wieder ein Tag
folgt”. Hier werden wir aber wieder verleitet die
Sache durch eine Analogie falsch zu sehen. Wir vergleichen
nämlich etwa die Folge der Tage mit der Folge von Ereignissen
(in der Zeit) z.B.
den Schlägen einer Uhr. Wir machen dann manchmal die
Erfahrung daß 4 Schlägen ein
fünfter folgt. Hat es
nun auch Sinn von der Erfahrung zu reden daß auf vier Tage ein
fünfter folgt? Und kann man sagen:
„siehst Du, ich habe es Dir
vorhergesagt, || : es wird auf den
vierten noch einer folgen”? (So gut
könnte man sagen, es sei eine Erfahrung daß auf den
vierten gerade der fünfte folgt & kein
andrer.) Wir reden hier aber nicht von der Vorhersage,
es werde die Sonne nach dem vierten Tag sich so wie bisher bewegen;
das ist eine echte Vorhersage. Nein, in unserm
Fall handelt es sich nicht um eine Vorhersage, kein Ereignis
wird prophezeit sondern wir sagen etwa: daß es Sinn hat in
bezug auf jeden Sonnenauf-
& untergang von einem
|
„Regellose unendliche
Dezimalzahl”. Die Auffassung ist immer die, als ob
wir nur Wörter unserer Umgangssprache zusammenzustellen brauchten
& die Zusammenstellung hätte
damit einen Sinn, den wir jetzt eben erforschen müßten
– wenn er uns nicht gleich ganz klar sein sollte. Es
ist als wären die Wörter Ingredienzen
einer chemischen Verbindung, die wir
zusammenschütten, sich mit
einander verbinden lassen, & nun
müßten wir eben die Eigenschaften der
(betreffenden) Verbindung
untersuchen. Wer sagte, er verstünde den Ausdruck
„regellose unendliche Dezimalzahl” nicht, dem
würde geantwortet: „das ist nicht wahr, Du
verstehst ihn sehr gut! weißt |
„Eine regellose unendliche Dezimalzahl kann man
z.B. erzeugen indem || sich
z.B. erzeugt denken, daß
endlos gewürfelt wird & die Zahl der Augen jedesmal
eine Dezimalstelle ist”. Aber wenn endlos
gewürfelt wird kommt ja eben kein endgültiges Resultat
heraus. |
Stellen wir uns vor daß ein Mann, der
unendlich lange Zeit gelebt hat, weil er nie geboren wurde
sagt: „Jetzt schreibe ich die
letzte Ziffer von π hin, nämlich
die 3 Einer”. Er hatte an jedem Tag seines
Lebens eine Ziffer hingeschrieben & niemals damit
angefangen; jetzt ist er fertig
geworden. |
„Nur der Menschliche
Intellekt kann |
Nehmen
wir an wir würfen mit einer Münze „Kopf
& Adler” & teilen nun eine Strecke
AB nach folgender Regel:
„Kopf” sagt:
|
Kann man den Begriff des
„Satzes” festlegen? oder die allgemeine
Form des Gesetzes? – Warum nicht! Wie
man ja auch den Begriff Zahl festlegen könnte, etwa durch das
Zeichen „[0, ξ, ξ + 1]”.
Es steht mir ja frei nur das Zahl zu nennen &
|
„Unendlich kompliziertes Gesetz”,
„unendlich komplizierte Konstruktion”.
(„Es glaubt der Mensch, wenn er nur Worte
hört, es müsse sich dabei auch etwas denken
lassen”.)
„Die Lage aller Primzahlen muß doch irgendwie vorausbestimmt sein. Wir rechnen sie nur sukzessive aus, aber sie sind alle schon bestimmt. Gott kennt sie sozusagen alle. Und dabei scheint es doch möglich daß sie nicht durch ein Gesetz bestimmt sind. –” – Immer wieder das Bild von der Bedeutung eines Wortes als einer vollen Kiste, deren |
Hat es einen Sinn zu sagen:
„Ich habe so viele Schuhe, als eine Wurzel der
Gleichung x³ + 2x ‒ 3 = 0
Einheiten hat”? Hier könnte es scheinen als
hätten wir eine Notation, der wir es eventuell
nicht ansehen können ob sie Sinn hat oder nicht.
Wenn der Ausdruck „die Wurzel der Gleichung F(x) = 0” eine Beschreibung im Russellschen Sinne wäre, so hätte der Wir habe in dem ersten Satz ein außerordentlich lehrreiches Beispiel dafür, wie eine Notation auf den ersten Blick einwandfrei erscheinen kann, nämlich so, als verstünden wir sie, & daß wir in Wirklichkeit einen unsinnigen Satz nach Analogie eines sinnvollen gebildet haben & nur glauben die Regeln des ersteren zu übersehen. So ist „ich habe n Schuhe & n² = 4” ein sinnvoller Satz; aber nicht: „ich habe n Schuhe & n² = 2”. |
Gleichungen sind eine Art von Zahlen.
(D.h. sie können den Zahlen
ähnlich behandelt werden.) |
Die Ausdrücke
„die Kardinalzahlen”, „die reellen
Zahlen” sind außerordentlich irreführend
außer wo sie als Teil einer Bestimmung
verwendet werden wie in „die
Kardinalzahlen von 1 bis 100”,
etc.. „Die
Kardinalzahlen” gibt es nicht sondern nur
„Kardinalzahlen” & den Begriff, die Form,
„Kardinalzahl”. Nun sagt man:
„die Zahl der Kardinalzahlen ist kleiner als die der reellen
Zahlen” & denkt sich man
könne || könnte die beiden Reihen etwa nebeneinander
schreiben (wenn wir nicht schwache Menschen wären)
& dann würde die eine im Endlosen enden während die
andere in's wirklich Unendliche über sie
hinaus liefe. Aber das ist
alles Unsinn. Wenn |
Der Konflikt in welchem wir uns in logischen Betrachtungen immer
wieder befinden ist wie der Konflikt zweier Personen die
mit einander einen Vertrag
abgeschlossen haben dessen letzte Formulierungen in
leicht mißdeutbaren
Worten niedergelegt sind, wogegen die
Erläuterungen dieser || zu diesen Formulierungen alles in
unmißverständlicher Weise
erklären. Die eine der beiden Personen nun hat ein
kurzes Gedächtnis, & vergißt die
Erläuterungen immer wieder, mißdeutet die
Bestimmungen des Vertrages & kommt || gerät
daher fortwährend in Schwierigkeiten. Die andere
muß immer von frischem an die Erläuterungen im Vertrag
erinnern & die Schwierigkeit wegräumen. |
Man kann sagen, daß die
Eigenschaften einer bestimmten Zahl nicht vorauszusehen
sind. Man sieht sie erst wenn man zu
Das Allgemeine ist die Wiederholung einer Operation. Jedes Stadium dieser Wiederholung hat seine Individualität. Nun ist es nicht etwa so, daß ich durch die Operation von einer Individualität zur andern fortschreite. So daß die Operation das Mittel wäre um von einer zur andern zu kommen. Gleichsam das Vehikel das bei jeder Zahl anhält, die man nun betrachten kann. Sondern die dreimalige || dreimal iterierte Operation +1 erzeugt & ist die Zahl drei. (Im Kalkül sind Prozeß & Resultat einander äquivalent.) ¥ |
Wie unterscheidet sich ein unendlich kompliziertes
Gesetz vom Mangel eines || Fehlen eines
Gesetzes? |
⍈ Ehe ich aber nun von „allen
diesen Individualitäten” oder
„der Gesamtheit dieser
Individualitäten” sprechen wollte, müßte
ich mir gut überlegen welche Bestimmungen ich in diesem
Falle über || für den Gebrauch
der Worte „alle” &
„Gesamtheit” gelten lassen will!
|
(Vergessen wir nicht: Die Überlegungen der
Mathematiker über das Unendliche sind doch lauter endliche
Überlegungen. Womit ich nur meine daß sie ein Ende
haben.) |
„Angenommen, ich schneide eine Strecke dort, wo kein
rationaler Punkt (keine rationale Zahl) ist.”
Aber kann man denn das? Von was für Strecken
sprichst Du? – „Aber, wenn meine Meßinstrumente
fein genug wären so könnte ich mich doch durch
fortgesetzte Bisektionen einem gewissen Punkt unbegrenzt
nähern.” – Nein, denn ich könnte ja
eben niemals erfahren ob mein Punkt ein solcher ist. Meine
Erfahrung wird immer nur sein, daß ich ihn bis jetzt
nicht erreicht habe. „Aber wenn ich nun mit einem
absolut genauen Rüstzeug die Konstruktion der
Wurzel √2
durchgeführt hätte &
mich nun dem erhaltenen Punkt durch Bisektion nähere, dann
weiß ich doch daß dieser
Prozeß den konstruierten Punkt niemals
erreichen wird.” – Aber
das wäre doch sonderbar, wenn so die eine Konstruktion
der andern sozusagen etwas vorschreiben
könnte! Und so ist es ja auch
nicht. Es ist sehr leicht möglich daß ich bei der
‚genauen’ Konstruktion der
√2 zu einem Punkt komme, den
die Bisektion, sagen wir nach 100 Stufen erreicht; – aber dann
werden wir sagen: unser Raum ist nicht
Euklidisch! – |
Der „Schnitt in einem
irrationalen Punkt” ist ein Bild & ein
irreführendes Bild. |
Sind durch den Schnitt einer Strecke die Resultate aller
Bisektionen die sich dem Schnittpunkt nähern sollen
vorausbestimmt? Nein. |
In dem vorigen Beispiel, in
dem ich mich bei der
sukzessiven Einschränkung eines
Intervalls durch Bisektionen einer Strecke von den Ergebnissen
des Würfelns leiten ließ hätte ich ebensowohl das
Anschreiben eines Dualbruches || Dezimalbruches vom Würfeln leiten lassen
können. So bestimmt auch die Beschreibung
„endloser Vorgang des
Wählens zwischen 1 & 0” beim Anschreiben eines
Dualbruches kein Gesetz. Man möchte etwa
sagen: Die Vorschrift des endlosen Wählens zwischen 0
& 1 in diesem Fall könnte durch ein Symbol
„0˙
|
Es gibt unendlich viele
Kardinalzahlen weil wir dieses unendliche System
konstruieren & es das der Kardinalzahlen nennen. Es
gibt auch ein Zahlensystem „1, 2, 3, 4, 5, viele”
& auch eines: „1, 2, 3, 4, 5.”
Und warum sollte ich das nicht auch ein System von Kardinalzahlen
nennen? (und also ein endliches). |
Wenn man wissen will was der Ausdruck
„das Maximum einer Kurve” bedeutet, so
|
Es ist der gleiche Fehler unserer Syntax,
der den Satz || den geometrischen Satz
„die Strecke läßt sich durch einen „In zwei Teile teilbar” & „unbegrenzt teilbar” haben eine gänzlich verschiedene Grammatik. Man operiert fälschlich mit dem Worte „unendlich” wie mit einem Zahlwort; weil beide in der Umgangssprache auf die Frage „wieviele …” zur Antwort kommen. |
„Das Maximum ist doch aber höher, als
jeder beliebige andre Punkt der Kurve.” Aber die
Kurve besteht ja nicht aus Punkten sondern ist ein Gesetz dem
Punkte gehorchen. Oder auch: ein Gesetz nach dem
Punkte konstruiert werden können. Wenn man nun
fragt: „welche Punkte”, || – so kann ich nur sagen: „nun,
z.B. die Punkte P, Q,
R, etc.”. Und es ist
einerseits so, daß keine Anzahl von Punkten gegeben werden
kann von denen man sagen könnte, sie seien alle Punkte die auf
der Kurve liegen, daß man anderseits auch nicht von einer solchen
Gesamtheit von Punkten reden kann, die nur wir Menschen nicht
aufzählen können, die sich aber wohl beschreiben
läßt & die man die Gesamtheit aller Punkte der Kurve
nennen könnte eine Gesamtheit die für uns Menschen
zu groß wäre. Es gibt |
Das Gewebe der
Irrtümer auf diesem Gebiet ist natürlich
ein sehr kompliziertes. Es tritt
z.B. noch die Verwechslung zweier
verschiedener Bedeutungen des Wortes
„Art” hinzu. Man gibt nämlich zu
daß die unendlichen Zahlen eine andre Art Zahlen sind als
die endlichen aber man mißversteht nun worin
hier der Unterschied verschiedener Arten besteht.
Daß es sich nämlich hier nicht um die
Unterscheidung von Gegenständen nach ihren Eigenschaften handelt,
wie wenn man rote Äpfel von gelben unterscheidet sondern
daß es sich um verschiedene logische Formen.
handelt.
– So versucht
Dedekind eine
unendliche Klasse zu beschreiben; indem er
sagt es sei eine die einer echten Teilklasse ihrer selbst ähnlich
ist. Hierdurch hat er scheinbar eine Eigenschaft angegeben
die die Klasse haben muß um unter den Begriff ‚unendliche
Klasse’ [Frege!!!]
Die Definition gibt nämlich vor daß aus dem Gelingen oder Mißlingen des Versuchs eine wirkliche Teilklasse der ganzen Klasse zuzuordnen hervorgeht daß sie unendlich oder || bezw. daß sie endlich ist. Während es einen solchen entscheidenden Versuch gar nicht gibt. – ‚Unendliche Klasse’ & ‚endliche Klasse’ sind verschiedene logische Kategorien, was von der einen Kategorie sinnvoll ausgesagt werden kann, kann es nicht von der andern. |
(Welches Kriterium gibt es dafür, daß die irrationalen
Zahlen komplett sind? Sehen wir uns eine irrationale Zahl
an: Sie läuft entlang einer Reihe
rationaler Näherungswerte. Wann verläßt sie
diese Reihe? Niemals. Aber sie kommt
allerdings auch niemals zu einem Ende.
Angenommen wir hätten die Gesamtheit aller irrationalen Zahlen mit Ausnahme einer einzigen. Wie würde uns diese abgehen? Und wie würde sie nun – wenn sie dazukäme, die Lücke füllen? – Angenommen es wäre π. Wenn die irrationale Zahl durch die Gesamtheit ihrer Näherungswerte gegeben ist, so gäbe es bis zu jedem beliebigen Punkt eine Reihe, die mit der von π übereinstimmt. Allerdings kommt für jede solche Reihe ein Punkt der Trennung. Aber dieser Punkt kann beliebig weit Auf die Frage „wie würde uns π abgehen”, müßte man antworten: π, wenn es eine Extension wäre, würde uns niemals abgehen. D.h., wir könnten niemals eine Lücke bemerken, die es füllt. Wenn man uns fragte: „aber hast Du auch einen unendlichen Dezimalbruch, der die Ziffer m an der r-ten Stelle hat & n an der s-ten etc.?” wir könnten ihm immer dienen.) |
„Die
gesetzmäßig fortschreitenden
unendlichen Dezimalbrüche sind noch
ergänzungsbedürftig durch eine unendliche Menge
ungeordneter || regelloser unendlicher
Dezimalbrüche, die ‚unter den Tisch fielen’,
wenn wir uns auf die gesetzmäßig
erzeugten
beschränkten.” Wo ist so ein nicht
gesetzmäßig erzeugter unendlicher
Dezimalbruch? Und wie können wir ihn
vermessen? Wo ist die Lücke die er auszufüllen
hätte? |
8.
Wie ist es wenn man die verschiedenen Gesetze der Bildung von
irrationalen Zahlen || Dezimalbrüchen || Dualbrüchen durch die Menge der endlichen
Kombinationen der Ziffern von 0
bis 9 || 0 & 1 sozusagen
|
Wenn man sagt: zwei Gesetze
sind identisch, wenn sie auf jeder Stufe das gleiche Resultat ergeben
so erscheint uns das wie eine ganz allgemeine
Regel. In Wirklichkeit aber hat
dieser Satz verschiedenen Sinn jenachdem was das Kriterium
dafür ist, daß sie auf jeder Stufe das gleiche Resultat
liefern. (Denn die supponierte allgemein anwendbare
Methode des endlosen Probierens gibt es ja nicht!) Wir
decken also die verschiedensten Bedeutungen
mit einer von einer Analogie hergenommenen Redeweise & glauben
nun wir hätten die verschiedensten Fälle
zu || in einem System vereinigt.
|
(Die
Vorschriften || Gesetze die den irrationalen Zahlen entsprechen,
sind insofern alle von der
gleichen Type || gehören insofern alle der
gleichen Type an, als sie ja alle schließlich Vorschriften
zur sukzessiven Erzeugung von
Dezimalbrüchen sein müssen. Die
gemeinsame Dezimalnotation bedingt, in
gewissem Sinne, eine gemeinsame Type.) |
Die Mengenlehre sucht das Unendliche auf eine
allgemeinere Art zu fassen als es die Untersuchung der Gesetze der
reellen Zahlen kann. Sie
sagt, daß das wirklich Unendliche mit dem
mathematischen Symbolismus überhaupt nicht zu fassen ist,
& daß es also nur beschrieben & nicht dargestellt
werden kann. Die Beschreibung würde es etwa so
erfassen, wie man eine Menge von Dingen, die man nicht alle in der
Hand halten kann in einer Kiste verpackt trägt. Sie
sind dann unsichtbar & doch wissen wir, daß wir sie tragen
(gleichsam indirekt). Man könnte von
dieser Theorie sagen, sie kaufe die Katze im Sack.
Soll sich's das Unendliche in seiner Kiste einrichten, wie
Darauf beruht auch die Idee, daß man logische Formen beschreiben kann. In so einer Beschreibung werden uns die Strukturen & etwa zuordnende Relationen in verpacktem Zustand präsentiert || gezeigt || werden uns die Strukturen in einer Verpackung gezeigt, die ihre Form unkenntlich macht & so sieht es aus als könne man von einer Struktur reden ohne sie in der Sprache selber wiederzugeben. So verpackte Begriffe dürfen wir allerdings verwenden, aber unsere Zeichen haben ihre Bedeutung dann immer über Definitionen, die eben die Begriffe || Strukturen so verhüllt haben & gehen wir diesen Definitionen nach so werden die Strukturen wieder enthüllt. Vergl. Russells Definition von „R*”.) |
Es geht, sozusagen, die Logik nichts an,
wieviele Äpfel vorhanden sind, wenn von „allen
Äpfeln” geredet wird; dagegen ist es anders mit den
Zahlen: für die ist sie einzeln verantwortlich.
|
„Es
gibt einen Punkt in dem die beiden Kurven einander
schneiden.” Wie weißt Du das? Wenn
Du es mir sagst werde ich wissen was der Satz „es gibt
…” für einen Sinn hat. |
Wenn in den
Diskussionen über die
Beweisbarkeit der mathematischen Sätze
Das Wort Satz, wenn es hier überhaupt Bedeutung haben soll, ist äquivalent einem Kalkül & zwar jedenfalls dem in welchem p ⌵ ~p = Taut. ist (das „Gesetz des ausgeschlossenen Dritten” gilt). Soll es nicht gelten, so haben wir den Begriff des Satzes geändert. Aber wir haben damit keine Entdeckung gemacht (etwas gefunden das ein Satz ist & dem & dem Gesetz nicht gehorcht) sondern eine neue Festsetzung getroffen ein neues Spiel angegeben. |
„Wenn ich die Zahlenreihe durchlaufe, so komme ich
entweder einmal zu der || einer Zahl von der
Eigenschaft ε oder
niemals”. Der Ausdruck „die
Zahlenreihe durchlaufen” ist Unsinn; außer es wird
ihm ein Sinn gegeben, der dann mit dem „Durchlaufen der
Zahlen von 1 bis 100” keine Analogie mehr hat. || aber
die vermutete Analogie mit dem
„Durchlaufen der Zahlen von 1 bis
100” aufhebt. |
Sind die Variablen von derselben Art in den Gleichungen:
x² + y² + 2xy = (x + y)² x² + 3x + 2 = 0 x² + ax + b = 0 x² + xy + z = 0 ? Das kommt auf die Verwendung dieser Gleichungen an. – Aber der Unterschied zwischen № 1 & № 2 (wie sie gewöhnlich gebraucht werden) ist nicht einer der Extension der Werte die sie befriedigen. Wie beweist Du den Satz „№ 1 gilt für alle Werte von x & y” & wie den Satz „Es gibt Werte von x die № 2 befriedigen”. Soviel Analogie in diesen Beweisen ist soviel Analogie ist im Sinn der beiden Sätze. |
„A ist mein Ahne” das
heißt: „A ist mein Vater, oder der Vater
meines Vaters, oder der Vater des Vaters meines Vaters, oder
u.s.w.”.
Wohl aber dadurch haben wir nur ein Satzzeichen für ein
anderes gesetzt, den Sinn aber noch nicht bestimmt,
denn wir haben ihn ja nicht – wie es leicht
scheint – auf den uns bekannten Sinn einer
|
Aber kann ich nicht von einer Gleichung
sagen: „Ich weiß sie stimmt für einige
Substitutionen nicht – ich erinnere mich nicht, für
welche –; ob sie aber allgemein nicht stimmt, das
weiß ich nicht”? – Aber was meinst Du
damit, wenn Du sagst, Du weißt das? Wie weißt Du
es? Hinter den Worten „ich weiß
…” ist ja nicht ein
eindeutiger || bestimmter
Geisteszustand der der Sinn dieser Worte wäre.
Was kannst Du mit diesem Wissen anfangen?
|
Die
Ausdrucksweise, || :
m =
2n ordne eine Klasse einer ihrer echten
Subklassen || Teilklassen zu, kleidet einen
einfachen || trivialen
Sinn durch Heranziehung einer weithergeholten || irreführenden Analogie in eine paradoxe Form.
(Und statt sich dieser paradoxen Form als etwas
Lächerlichem zu schämen, brüstet man sich eines Sieges
über alte Vorurteile des Verstandes.) Es ist genau
so als stieße man die Regeln des Schach um & sagte, es habe
sich gezeigt, daß man Schach auch ganz anders spielen
könne. So verwechselt man erst das Wort
„Zahl” mit einem Begriffswort wie
„Apfel”, spricht dann von einer
„Anzahl der Kardinalzahlen || Anzahlen” & sieht nicht daß man
in diesem Ausdruck nicht beidemal das gleiche Wort
„Anzahl” gebrauchen sollte; & endlich
hält man es für eine Entdeckung daß die Anzahl der
geraden Zahlen die gleiche ist wie die
|
Weniger irreführend ist es,
zu sagen „m = 2n gibt die
Möglichkeit der Zuordnung jeder Zahl mit einer andern”
als „m = 2n ordnet alle Zahlen
anderen zu”. Aber auch hier muß erst
die Grammatik die
Bedeutung des Ausdrucks „Möglichkeit der
Zuordnung” lehren. |
Wenn zwei Pfeile in derselben Richtung zeigen, ist
es dann nicht absurd diese Richtungen „gleich
lang” zu nennen, weil, was in der
Richtung des einen Pfeiles liegt, auch in der des andern
liegt. – Die Allgemeinheit von
m =
2n ist ein Pfeil der der Operationsreihe entlang
weist. Und zwar kann man
sagen, der Pfeil weist in's Unendliche; aber heißt das, daß
es ein Etwas, das Unendliche, gibt, auf das er – wie auf ein Ding
– hinweist? – Der Pfeil bezeichnet gleichsam
die Möglichkeit der Lage von Dingen in seiner
Richtung. Das Wort Möglichkeit ist aber
irreführend, denn, was möglich ist, wird man sagen, soll
eben nun wirklich werden. Auch denkt man
dabei immer an zeitliche Prozesse & schließt
daraus, daß die Mathematik nichts mit
der Zeit zu tun hat, daß die Möglichkeit in ihr bereits
Wirklichkeit ist. Die „unendliche Reihe der Kardinalzahlen” nämlich oder „der Begriff der Kardinalzahl” ist nur so eine Möglichkeit, wie aus ihrem || dem Symbol „[0, ξ, ξ + 1]” klar hervorgeht. Dieses Symbol selbst ist ein Pfeil |
Die Mengenlehre wenn sie sich auf die menschliche
Unmöglichkeit eines direkten Symbolismus des Unendlichen
beruft führt dadurch die denkbar
krasseste Mißdeutung
ihres eigenen Kalküls ein. Es ist freilich eben diese
Mißdeutung die für die Erfindung dieses
Kalküls verantwortlich ist. Aber der Kalkül
an sich ist natürlich dadurch nicht als etwas Falsches erwiesen
(höchstens als etwas Uninteressantes)
& es ist sonderbar, zu glauben daß dieser Teil der
Mathematik durch irgend welche philosophische (oder
mathematische) Untersuchungen gefährdet ist.
(Ebenso könnte das Schachspiel durch die Entdeckung
gefährdet werden daß sich Kriege zwischen zwei Armeen nicht so
abspielen wie der Kampf auf dem Schachbrett.) Was der
Mengenlehre verloren gehen muß ist vielmehr die
Atmosphäre von Gedankennebeln die den bloßen
Kalkül umgibt. Also die |
Verschiedene Verwendung des Wortes
„können” in den Sätzen:
„in dieser Richtung können 3 Dinge liegen”
& „in dieser Richtung können unendlich viele
Dinge liegen”. Welchen Sinn,
d.h. welche Grammatik, könnte nun
so eine Ausdrucksweise haben? Man könnte
z.B. sagen: „in der
Reihe || natürlichen
Zahlenreihe 1, 2, 3, 4, … können rechts von der
„1” unendlich viele Ziffern liegen || auf die
„1” unendlich viele Ziffern
folgen”; das heißt dasselbe wie:
„die Operation + 1 darf immer wieder
(oder: ohne Ende) gebraucht werden. Wenn also
z.B. Einer nach der Ziffer 100 die Ziffer 100
+ 1 anschreibt so hat er nach jener Regel das Recht dazu.
Dagegen hat es hier keinen Sinn zu sagen: „wenn es
erlaubt ist unendlich viele Ziffern hinzuschreiben, so schreiben
wir unendlich viele Ziffern hin (oder versuchen
es)!”. Ich würde,
den, der das sagt, darauf hinweisen daß „unendlich
viele” hier nicht als Zahlwort gebraucht ist;
daß in die Form „ich schreibe n
Ziffern” statt dem n
eingesetzt werden darf. Daß also was ich erlaube nicht
ist eine bestimmte Anzahl von Ziffern hinzuschreiben
(nämlich eine Anzahl die etwa
„unendlich viele” hieße denn so habe
ich keine der Ziffern genannt)
sondern: Analog, wenn ich sage, eine Division erzeugt || erzeuge einen unendlichen Dezimalbruch so gibt es nicht ein, endliches, || unendliches Resultat der Division das „unendlicher Dezimalbruch” heißt in dem Sinn in welchem die Zahl 0˙142 das || ein Resultat von 1 : 7 nach drei Stellen ist. || ist. Die Division liefert nicht als Endresultat eine Dezimalzahl oder eine Anzahl von Resultaten || von Dezimalzahlen – sondern || vielmehr man kann || kann man nicht von „ihrem Endresultat” reden; & sie liefert endlos Dezimalbrüche; nicht „einen endlosen Dezimalbruch”. „Endlos” wird adverbial gebraucht. Denken wir uns nun folgenden Fall: Ich hätte eine besondere Art Würfel konstruiert & würde nun voraussagen: „ich werde mit diesem Würfel die Stellen von π würfeln”. Diese Aussage ist von anderer Form als die scheinbar analoge: „ich werde mit diesem Würfel die ersten 10 Stellen von π würfeln”. Denn im zweiten Fall gibt es einen Satz „ich werde in einer Stunde die ersten 10 Stellen von π gewürfelt haben” während |
9.
Damit, daß gesagt wird, daß aus der unendlichen Hypothese
„(n) ∙ (∃nx) φx”
(wie ich sie, der Kürze wegen jetzt schreiben
will) jeder beliebige
Satz (∃nx) φx
folgt & sie selbst aus keinem logischen Produkt dieser
Sätze, ist natürlich noch gar nichts über den weiteren
Gebrauch dieses Spiels gesagt. |
Vergleichen wir die Sätze: „ich richte meine
Handlungsweise darauf ein daß dieser Zustand noch 2 Jahre dauern
wird” & „ich richte meine
Handlungsweise || mich drauf ein daß dieser Zustand ewig
so dauern wird.” – Hat der Satz
Sinn: „ich glaube (oder erwarte, oder hoffe)
daß es die unendliche Zeit hindurch so bleiben
wird”? – Man kann sagen: „ich mache Vorbereitungen für die nächsten 3 Tage” oder 10 Jahre, etc., & auch „ich mache Vorbereitungen auf unbestimmte Zeit”; – aber auch: „auf unendliche Zeit”? Denken wir gar an den Satz: „ich vermute daß dieser Zustand endlos || ohne Ende andauern wird || so weitergehen wird”! Und || Oder an den komischen Klang der Widerlegung: „Du hast gesagt, dieses Uhrwerk werde immer so weitergehen, – nun es steht jetzt schon”. Wir fühlen, daß ja doch auch jede endliche Vorhersage einer zu langen Gangdauer durch die Tatsache widerlegt wäre, & die Widerlegung daher in irgend einem Sinn mit der Behauptung inkommensurabel sei. – Es ist nämlich Unsinn, zu sagen: „sie || das Uhrwerk ist nicht unendlich weiter gelaufen, sondern nach zehn Jahren stehen geblieben” (oder, noch komischer: „…, sondern schon nach zehn Jahren stehen geblieben”). Wie seltsam, wenn man sagte: „Es gehört große Kühnheit dazu etwas auf 100 Jahre vorauszusagen; – aber welche Kühnheit muß dazugehören um etwas auf unendliche Zeit vorauszusagen, wie es Newton im Trägheitsgesetz getan hat!” „Ich glaube, das wird immer so weitergehn” – „Ist es nicht genug (for all practical purposes) wenn Du sagst, Du glaubst, es werde noch 100000 Jahre so weiter gehen?” – Wir müssen nämlich fragen: kann Denken wir, an den Satz: „dieser Komet wird sich in einer Parabel von der Gleichung … bewegen”. Wie wird dieser Satz gebraucht? Er kann nicht verifiziert werden; d.h.: wir haben keine Verifikation in seiner Grammatik für ihn vorgesehen (das heißt natürlich nicht, daß man nicht sagen kann, er sei wahr; denn „p ist wahr” sagt dasselbe wie „p”). Der Satz kann uns nun dazu bringen, bestimmte Beobachtungen zu machen. Aber für die hätte es immer auch eine endliche Vorhersage getan. Er wird auch gewisse Handlungen bestimmen. Z.B. könnte er uns davon abhalten den Kometen an dem & dem Ort zu suchen. Aber auch dazu hätte eine endliche Angabe genügt. Die Unendlichkeit der Hypothese besteht nicht in ihrer Größe sondern in ihrer Unabgeschlossenheit. |
Wenn man vom Begriff
‚Unendlichkeit’ redet, muß man sich daran
erinnern, daß dieses |
(Die besondere Beruhigung welche eintritt, wenn
wir einem Fall, den wir für einzigartig hielten,
andere Fälle an die Seite stellen können, tritt in
unseren Untersuchungen immer wieder ein, wenn wir zeigen, daß ein
Wort nicht nur eine Bedeutung (oder nicht nur zwei) hat,
sondern in fünf oder sechs verschiedenen gebraucht
wird.) |
Wenn wir
sagen möchten, die Unendlichkeit ist eine Eigenschaft der
Möglichkeit nicht der Wirklichkeit, – || – oder: das Wort „unendlich”
gehöre immer zum Wort „möglich”, und
dergleichen, so kommt das darauf hinaus, zu
sagen, || : das Wort
„unendlich” sei immer ein Teil einer
Regel. Wir wehren uns gegen die Auffassung des Unendlichen, als einer ungeheuren Größe. (Die Denken wir uns, wir erzählten jemandem: „gestern kaufte ich mir ein Lineal mit unendlichem Krümmungsradius”. Aber hier kommt doch das Wort „unendlich” in der || einer Beschreibung der Wirklichkeit vor. – Aber ich kann doch nie die Erfahrung haben, die mich berechtigte zu sagen, daß das Lineal wirklich den Radius unendlich hat, da der Radius 100¹⁰⁰ km es gewiß auch schon tut. – Wohl, aber dann kann ich eben auch nicht die Erfahrung haben die mich berechtigt, zu sagen, das Lineal sei gerade. Und die Worte „gerade” (oder ein andermal „parallel”) & „unendlich” sind im gleichen Fall. Ich meine: Wenn das Wort „gerade” oder „parallel”, oder „längengleich” etc. etc. in einem Erfahrungssatz || in einer Beschreibung der Wirklichkeit stehen darf, dann auch das Wort „unendlich”. „Unendlich ist nur die Möglichkeit” heißt: „‚unendlich’ ist ein Zusatz zu ‚u.s.w.’”. Und soweit es dies ist, gehört es in eine Regel, ein Gesetz. In die Beschreibung der Erfahrung gehört es nur insofern || soweit nicht, als man unter „Erfahrung die einem Gesetz entspricht” eine endlose Reihe Denken wir uns, die Fee im Märchen sagte: „Du wirst so viel Goldstücke erhalten, als Du Dir wünscht, aber Du darfst nur einmal wünschen”. – Ist ihr Versprechen nicht erfüllt, wenn ich kriege, was ich mir wünsche? Und war meine Wahl nicht unbeschränkt? Wäre der Fall nicht ein anderer gewesen, wenn sie dem Betrag eine Grenze gesetzt hätte, wie weit immer sie sie auch gezogen hätte? Kann ich nun nicht sagen: die Freiheit, die mir die Fee gelassen hat, war unbeschränkt || unendlich? Und ist damit nicht eine Wirklichkeit beschrieben? – Wenn nun Einer sagt: „Nein, die Freiheit der Wahl ist nur eine Möglichkeit”, so vermengt er die Aussage, || : daß mir die Fee eine unendliche Freiheit gelassen hat, – welche keine Regel der Grammatik ist –, mit der Regel, die mir erlaubt, in Übereinstimmung mit dem Versprechen der Fee eine beliebige Zahl von Goldstücken zu nennen. Man könnte das auch so sagen: wenn der Begriff der Unendlichkeit in der Beschreibung der Realität angewendet wird, so ist in solchen Beschreibungen nicht von ‚unendlichen Linealen’ die Rede, sondern etwa Wenn wir sagen: „die Möglichkeit der Bildung von Dezimalstellen in der Division 1 : 3 ist unendlich”, so stellen wir damit keine Naturtatsache fest, sondern geben eine Regel des Kalküls. Sage ich aber: „ich lasse Dir die unendliche Freiheit, so viele Stellen zu bilden als Du willst, ich werde Dich nicht hindern” so stelle ich damit nicht die Regel eines Kalküls auf sondern mache eine Vorhersage. “Ja, aber doch nur als Beschreibung einer Möglichkeit” – Nein, einer Wirklichkeit! aber natürlich nicht der von „unendlich vielen Stellen”; aber das ist || wäre doch gerade der grammatische Fehler || der Unsinn den wir vermeiden müssen. Und es bleibt natürlich in diesen Erfahrungssätzen „unendlich” die Eigenschaft einer Regel, wenn man es so ausdrücken will & das heißt nichts anderes als daß es auch hier durch „u.s.w. ad inf.” wiedergegeben werden kann & zugleich ist das auch alles was damit gemeint ist wenn man sagt: die Unendlichkeit sei ein Prädikat der Möglichkeit. |
(Wenn man sagt, daß dieses Gebiet
unseres Gegenstands außerordentlich schwer ist, so ist das
insofern || insoweit nicht wahr, als nicht etwa von außerordentlich
schwer |
Es gibt ein
Gefühl: „In der Mathematik kann es nicht
Wirklichkeit & Möglichkeit geben. Alles ist
auf einer Stufe. Und zwar in gewissem Sinne
wirklich.” – Und das ist
richtig. Denn Mathematik ist ein Kalkül:
& der Kalkül sagt von keinem Zeichen, daß es nur
möglich wäre, sondern er
hat es nur mit den Zeichen zu tun mit denen er wirklich
operiert. (Vergleiche die Begründung der
Mengenlehre mit der Annahme eines möglichen
Kalküls mit unendlichen Zeichen.) |
Der Schnittpunkt zweier Kurven ist nicht
das gemeinsame Glied zweier Klassen von Punkten sondern der
Durchschnitt zweier Gesetze. Es sei denn daß man
die erste Ausdrucksweise, sehr irreführend, durch die
zweite definiert. |
„Einmal wird die Welt
untergehen” eine unendliche Hypothese. |
Was wir im
physikalischen Raum denken, ist nicht das Primäre, das
wir nur mehr oder weniger erkennen können; sondern, was vom
physikalischen Raum wir erkennen können, zeigt uns wie weit
das Primäre reicht & wie wir den physikalischen
Raum zu deuten haben. |
Angenommen
in einem Spiel lautete eine Spielregel: „Man
schreibe einen Bruch auf, der zwischen 1 &
2 || 0 & 1 liegt”; ist diese Regel nicht
ganz verständlich? braucht hier eine
Einschränkung gegeben zu werden? (Oder die
Regel: „man schreibe eine Zahl auf die größer
als 100 ist”) |
Der Satz: daß einmal
– in der unendlichen Zukunft – ein Ereignis
(z.B. der Weltuntergang) eintreten werde,
hat eine gewisse formale Ähnlichkeit mit dem was wir Tautologie
nennen. |
¥
Das Unendliche konkurriert mit dem Endlichen nicht.
⌇Es ist das, was wesentlich kein Endliches
ausschließt.⌇
⍈ Man denkt, eine große Zahl sei dem Unendlichen doch näher als eine kleine. Der Raum hat keine Ausdehnung, nur die räumlichen Gegenstände sind ausgedehnt. Die Unendlichkeit ist eine Eigenschaft des Raumes. (Und das zeigt, daß sie keine unendliche Ausdehnung ist.) |
Die unendliche Teilbarkeit besteht darin, daß
jede beliebige endliche Anzahl von Teilen denkbar ist (aber
keine unendliche). |
Wenn
man sagt: „der Raum ist unendlich teilbar”, so
heißt das eigentlich: der Raum besteht nicht aus einzelnen
Dingen (Teilen). Die unendliche Teilbarkeit bedeutet in gewissem Sinne, daß der Raum nicht teilbar ist, daß Der Raum gibt der Wirklichkeit eine unendliche Gelegenheit der Teilung. (Und darum steht in der ersten Klammer von „(n) ∙ (∃nx) φx” nur ein Buchstabe. Offenbar nur eine Gelegenheit, nichts anderes. Wir denken zu wenig daran, daß das Zeichen wirklich nicht mehr bedeuten kann, als wir es bedeuten lassen. || als es ist.) |
Sehen
wir einen kontinuierlichen Farbenübergang eine kontinuierliche
Bewegung, dann sehen wir keine Teile, keine
Sprünge (nicht „unendlich viele”;
außer ich gebe diesem Ausdruck jetzt diese
Bedeutung). |
Die Annahme der Unentscheidbarkeit setzt voraus,
daß zwischen den beiden Seiten einer Gleichung, sozusagen, eine
unterirdische Verbindung besteht; daß die Brücke nicht
in Symbolen geschlagen werden kann. Aber dennoch
besteht: denn sonst wäre die Gleichung
sinnlos. – Aber die Brücke || Verbindung besteht nur, wenn wir sie durch
Symbole || einen Kalkül
geschlagen || gemacht haben. Der
Übergang ist nicht durch eine dunkle Spekulation hergestellt, von
andrer Art als das was er verbindet. (Wie ein dunkler
Gang zwischen zwei lichten Orten.) |
Wenn Brouwer die Anwendung des Satzes vom
|
Die
Betrachtungsweise, || :
daß ein Satz, weil er || logisches Gesetz, weil
es für ein Gebiet der Mathematik gilt, nicht notwendig
auch für ein anderes gelten müsse, ist in der Mathematik gar
nicht am Platz, ihrem Wesen ganz entgegen. Obwohl
manche Autoren gerade das für besonders subtil halten, &
entgegen den Vorurteilen. |
Man wundert sich darüber, daß „zwischen
den überall dicht liegenden rationalen Punkten”
noch die irrationalen Platz haben. (Welche
Verdummung!) Was zeigt eine Konstruktion, wie
die des Punktes √2? Zeigt sie diesen Punkt, wie
|
Die Erklärung des
Dedekindschen Schnittes
tut so, als wäre sie anschaulich || gibt vor
anschaulich zu sein, wenn gesagt wird || sie sagt: Es gibt 3 Fälle:
entweder hat die Klasse R ein erstes Glied
& L kein letztes etc.. In
Wahrheit lassen sich zwei dieser 3 Fälle gar nicht
vorstellen. Außer wenn die Wörter
„Klasse”, „erstes Glied”,
„letztes Glied” gänzlich ihre
anscheinend || vorgeblich
beibehaltenen alltäglichen Bedeutungen
wechseln. ¥
Das Gleichnis vom Schnitt sollte doch wohl die Arithmetischen
Verhältnisse erklären & nicht einzig &
allein durch sie erklärt werden können, wodurch es
irreführend & überflüssig wird.
⍈ Wenn man nämlich, starr darüber daß Einer von einer Klasse von Punkten redet, die rechts von einem gegebenen Punkt liegt & keinen Anfang hat, sagt: gib uns doch ein Beispiel so einer Klasse, so zieht er das von den rationalen Zahlen hervor! Aber hier ist ja gar keine Klasse von Punkten im alltäglichen || ursprünglichen Sinn! |
„m ˃ n” kann ich allerdings
definieren als (∃x) m ‒ n =
x aber dadurch habe ich es in keiner Weise
analysiert. Man denkt nämlich, daß
|
Wenn
ich sage: „für jedes n gibt es ein δ,
das die Funktion kleiner macht als n”, so muß ich
mich auf ein allgemeines arithmetisches Kriterium beziehen, das
anzeigt, wann F(δ) ˂ n
ist. |
Wenn ich wesentlich
keine Zahl hinschreiben kann |
Es geht auch nichts von
der Allgemeinheit der Betrachtung verloren, wenn ich
die Regeln die Richtigkeit &
Falschheit von m ˃ n (also seinen
Sinn) bestimmen etwa im || für das Dezimalsystem
gebe. Ein System brauche ich ja doch & die
Allgemeinheit ist dadurch gewahrt daß man die
Regeln gibt nach denen von einem System in ein anderes
übersetzt wird. |
Wenn Du wissen willst was der Ausdruck
„Stetigkeit einer Funktion” bedeutet, schau den
Beweis der Stetigkeit an der wird ja zeigen was er
beweist. Aber sieh nicht das Resultat an,
wie es in Prosa hingeschrieben || ausgedrückt ist & auch nicht wie
es in der Russellschen Notation lautet, die ja bloß eine
Übersetzung des Prosaausdrucks ist; sondern richte Deinen
Blick dorthin wo im Beweis noch gerechnet wird. Denn der
Prosaausdruck || Wortausdruck des angeblich
bewiesenen Satzes ist meist irreführend, denn er
verschleiert das eigentliche Ziel des Beweises,
was || das in ihm || diesem mit voller Klarheit zu sehen ist. |
Der Beweis der Beweisbarkeit
eines Satzes wäre Was ist der Beweis dafür, daß die Division 1 : 3 einmal die Zahl 0˙33333 erzeugen wird? |
Wenn man den Menschen lehrt einen
Schritt zu machen, so gibt man ihm damit die Möglichkeit
irgend eine || jede Strecke zu gehen.
|
Es ist schwer sich von der
extensiven Auffassung ganz frei zu machen: So denkt
man: „Ja, aber es muß doch eine innere
Beziehung zwischen x³ + y³ und
z³ bestehen, da
doch |
Wo man fragen kann, kann man auch suchen, & wo man nicht
suchen kann, kann man auch nicht fragen. Und auch nicht
antworten. (Das ist eine
grammatische Erklärung über || der Vorschlag einer
Festsetzung für den Gebrauch der Wörter
„fragen”, „antworten”,
„suchen”.) |
10.
Wenn von Beweisen der Relevanz (& ähnlichen
Dingen der Mathematik) geredet wird so geschieht es
immer, als hätten wir, abgesehen von den einzelnen
Operationsreihen die wir Beweise der Relevanz nennen noch einen ganz
scharfen umfassenden Begriff so eines Beweises oder überhaupt
eines mathematischen Beweises. Während in
Wirklichkeit dieses Wort wieder in
vielen mehr oder weniger verwandten Bedeutungen angewandt
wird (wie etwa die Wörter
„Volk”, „König”,
„Religion”
etc.¤, siehe
Spengler.)
Denken wir nur an die Rolle, die in || bei der
Erklärung so eines Wortes ein Beispiel spielt. Denn
wenn ich erklären will, was ich unter „Beweis”
verstehe, werde ich auf Beispiele von Beweisen zeigen müssen, wie
ich bei der Erklärung des Wortes „Apfel” auf Äpfel zeigen
werde. Mit der Erklärung des Wortes Beweis
verhält es sich nun wie mit |
Man kann sagen:
Ein Beweis der Relevanz wird den Kalkül des Satzes
auf den er sich bezieht ändern. Einen
Kalkül mit diesem Satz rechtfertigen
|
Der Beweis der Kontrollierbarkeit von
17 × 23 =
391 ist ‚Beweis’ in einem andern
Sinne dieses Worts, als der, der Gleichung
selbst. (Der Müller mahlt, der Maler malt:
beide …). Die Kontrollierbarkeit der
Gleichung ersehen || entnehmen wir aus ihrem Beweis in analoger Weise,
wie die Kontrollierbarkeit des Satzes „die Punkte A
& B
sind nicht durch
eine Windung der Spirale getrennt” aus der
Zeichnung || Figur. Und man sieht auch
schon daß der Satz der die Kontrollierbarkeit
aussagt ‚Satz’ in einem andern Sinne ist
als der dessen |
Kann man sagen daß wir zu jedem Schritt
eines Beweises eine frische Intuition brauchen?
(Individualität der Zahlen.) Es
wäre etwa so: Ist mir eine allgemeine (variable) Regel
gegeben, so muß ich immer von neuem
erkennen, daß diese Regel auch
hier angewendet werden kann (daß sie auch für
diesen Fall gilt). Kein Akt der Voraussicht
kann mir diesen Akt der Einsicht ersparen. Denn
tatsächlich ist die Form, auf die die Regel angewandt wird, bei
jedem neuen Schritte eine neue. – Es handelt
sich aber hier nicht um einen Akt der Einsicht
sondern um einen Akt der Entscheidung. |
Der sogenannte Beweis der
Relevanz steigt die Leiter zu seinem Satz nicht hinauf, denn
dazu muß man jede Stufe nehmen, sondern zeigt nur daß
die Leiter in der Richtung zu jenem Satz führt.
D.h.: es gibt
keinen Ersatz für das Durchlaufen jeder Stufe. (In
der Logik gibt es kein Surrogat.) Es ist auch der
Pfeil der die Richtung weist kein Surrogat für das
Durchschreiten aller Stufen bis zum bestimmten Ziel. |
Ich sagte: Wo man
nicht suchen kann, da kann man auch nicht fragen, und
d.h.: wo es keine logische
Methode des Findens gibt, da kann auch die Frage keinen Sinn
haben. – Nur wo eine Methode der Lösung ist, ist
ein Problem (d.h. natürlich nicht:
„nur wo die Lösung gefunden ist, ist ein
Problem”). –
Dieser Satz fixiert wieder nur eine Grammatik für das Wort
„Problem”.
D.h.: dort wo die Lösung des
Problems nur von einer Art Offenbarung erwartet werden kann,
ist auch kein Problem. Einer Offenbarung entspricht
keine Frage. – Diese Sätze sind nur verkappte
Erklärungen eines || einer Art des Gebrauches der
Worte „Problem”, „Frage”
etc.. (Frage nach der Erfahrung eines
„sechsten” Sinnes den wir nicht haben
(Suchen nach einer neuen
Sinneserfahrung).) |
(Es ist beinahe unglaublich, wie ein Problem
durch die irreführenden Ausdrucksweisen, die Generation auf
Generation rundherumstellt, gänzlich, auf Meilen, blockiert wird,
so daß es beinahe unmöglich wird,
dazuzukommen.) |
„Wird die Gleichung von irgendwelchen Zahlen
befriedigt?”; „sie wird von
allen Zahlen befriedigt”; „sie wird von
allen Zahlen (von keiner Zahl) befriedigt”.
Hat Dein Kalkül Beweise? und welche? daraus erst
wird man den Sinn dieser Sätze & Fragen entnehmen
können. Ich kann den Ausdruck: „die Gleichung G ergibt die Lösung L” nicht eindeutig anwenden, solange ich keine Methode der Lösung besitze; weil „ergibt” sich auf eine Struktur bezieht || eine Struktur bedeutet, die ich ohne sie zu kennen nicht bezeichnen kann. Denn das heißt das Wort „ergibt” zu verwenden ohne seine Grammatik zu kennen. Ich könnte aber auch sagen: Das Wort „ergibt” hat andere Bedeutung wenn ich es so verwende daß es sich auf eine Methode der Lösung bezieht & eine andere wenn dies nicht der Fall ist. Es verhält sich hier mit „ergibt” ähnlich wie mit dem Wort „gewinnen” (oder „verlieren”) wenn das Kriterium des „Gewinnens” einmal eine bestimmte Stellung der Spielfiguren || ein bestimmter Verlauf der Partie (z.B.) ist (hier muß ich die Spielregeln kennen um sagen zu können ob Einer verloren || gewonnen hat) oder ob ich mit Gewinnen etwas meine was sich etwa || beiläufig durch „zahlen müssen” ausdrücken ließe. Wenn wir „ergibt” im ersten Sinne || in der ersten Bedeutung anwenden, so heißt „die Gleichung ergibt L”: wenn ich die Gleichung nach gewissen Regeln transformiere so erhalte ich L. So wie die Gleichung 25 × 25 = 620 besagt, daß ich 620 erhalte, wenn ich auf 25 × 25 die Multiplikationsregeln anwende. Aber diese Regeln müssen mir nun || hier schon gegeben sein, ehe das Wort „ergibt” Bedeutung hat, & ehe die Frage einen |
Der Fermatsche Satz hat keinen strengen Sinn, solange ich
nach der Auflösung der Gleichung durch Kardinalzahlen nicht
suchen kann. Und „suchen”
heißt: systematisch suchen. Es ist kein
Suchen, wenn ich im unendlichen Raum nach einem
Gegenstand umherirre. – An unserer
Schwierigkeit ist natürlich die falsche Auffassung der Variablen
schuld, || : die Auffassung, als
verträte die Variable eine Klasse von Zahlen
(& zwar einer Klasse, Liste, von Zahlen), während
sie nichts vertritt sondern ist was sie ist.
Verträte sie Zahlen, dann brauchte allerdings nur
5³ + 7³ =
9³ Sinn zu haben & der Sinn der
allgemeinen Sätze über die Form
x³ + y³ =
z³ folgte daraus. Aber da die
Variable autonom ist, so hat der Satz in welchem sie vorkommt erst
dann Sinn, wenn er nach seinen eigenen Prinzipien kontrollierbar ist,
wie die Zahlengleichung nach dem ihrigen. || ihren. |
Es genügt also nicht zu sagen
„p ist beweisbar”,
sondern es muß heißen: beweisbar
nach einem bestimmten System. Und zwar behauptet der Satz nicht, p sei beweisbar nach dem System S, sondern nach seinem System, dem System von p. Daß p dem System S angehört, das läßt sich nicht behaupten (das muß sich zeigen). – Man kann nicht sagen, p gehört zum System S; man kann nicht fragen, zu welchem System p gehört; man kann nicht das System von p suchen. p verstehen, heißt, sein |
Würde denn aus dem Allen nicht das Paradox folgen:
daß es in der Mathematik keine schweren Probleme gibt; weil,
was schwer ist, kein Problem ist? Was folgt ist, daß das „schwere mathematische Problem” d.h. das Problem der mathematischen Forschung zur Aufgabe „25 × 25 = ?” nicht in dem Verhältnis steht in welchem || wie etwa ein akrobatisches Kunststück zu einem einfachen Purzelbaum steht (also einfach in dem Verhältnis sehr leicht zu sehr schwer) sondern daß es ‚Probleme’ in verschiedenen Bedeutungen des Wortes sind. |
Man könnte erklären || festlegen:
„Was man anfassen kann ist ein
Problem. – Nur wo ein Problem ist || sein kann, kann etwas behauptet werden.” |
14.
Welcher Art ist der Satz „die 3-Teilung des
Winkels mit Zirkel & Lineal ist
unmöglich”? Doch wohl von
derselben wie: „in der Reihe der Winkelteilungen
F(n) kommt keine
F(3) vor, wie in der Reihe
der Zahlen || Kombinationszahlen
|
Warum nennt man
diesen Beweis, den Beweis dieses
Satzes? Der Satz ist ja kein Name, sondern
gehört als Satz einem Sprachsystem an: Wenn
ich sagen kann „es gibt keine 3-Teilung”
so hat es Sinn zu sagen „es gibt keine
4-Teilung” etc.
etc. Und ist dies || B ein Beweis des ersten Satzes (ein Teil seiner
Syntax), so muß es also entsprechende Beweise (oder
Gegenbeweise) für die andern Sätze des Satzsystems geben,
denn sonst gehören sie nicht zu demselben System. |
Der bewiesene mathematische Satz hat in
seiner Grammatik zur Wahrheit hin ein
Übergewicht. Ich kann um den Sinn
von |
Wenn ich a + (b + c) =
(a + b) + c negiere, so hat das nur Sinn wenn
ich etwa sagen will: es ist nicht a + (b + c) =
(a + b) + c sondern
=
(a + 2b) + c . Denn es
fragt sich: was ist der Raum in welchem ich den Satz
negiere; wenn ich ihn abgrenze ausschließe,
wovon? Die Kontrolle von 25 × 25 = 625 ist die Ausrechnung von 25 × 25 die Berechnung der rechten Seite; – kann ich nun a + (b + c) = (a + b) + c errechnen, das Resultat (a + b) + c ausrechnen? Je nachdem man es als berechenbar oder unberechenbar betrachtet ist es beweisbar oder nicht. Denn ist der Satz eine Regel, der jede Ausrechnung folgen muß, ein Paradigma, dann hat es keinen Sinn von einer Ausrechnung der Gleichung zu Das Wesentliche an der Möglichkeit der Ausrechnung ist || Die Möglichkeit der Ausrechnung ist || Das was die Ausrechnung möglich macht ist das System, dem der Satz angehört & das auch die Rechenfehler bestimmt die sich bei der Ausrechnung machen lassen. Z.B. ist (a + b)² = a² + 2ab + b² & nicht = a² + ab + b²; aber (a + b)² = ‒ 4 ist kein möglicher Rechenfehler in diesem System. |
Sofern man die
Unmöglichkeit der 3-Teilung als eine physische
Unmöglichkeit darstellen kann, indem man
z.B. sagt: „Versuch'
nicht den Winkel in 3 gleiche Teile zu teilen, es
ist hoffnungslos!”, insofern beweist der
„Beweis der Unmöglichkeit” diese
nicht. Daß es hoffnungslos ist,
die Teilung zu versuchen, das hängt mit
physikalischen Tatsachen zusammen. |
Man kann nicht sagen: „ich
werde ausrechnen daß es so ist”,
sondern „ob es so ist”. Also ob
so, oder anders. |
Ich könnte ja auch ganz beiläufig (siehe
andere Bemerkungen) sagen: „25 × 64 = 160, 64 × 25 = 160; das beweist, daß a × b = b × a ist” (& diese Redeweise ist nicht vielleicht lächerlich & falsch; sondern man muß sie nur recht deuten). Und man kann richtig daraus schließen: also läßt sich „a ∙ b = b ∙ a” in einem Sinne berechnen. || beweisen. Und ich will sagen: Nur in dem Sinne in welchem die Ausrechnung so eines Beispiels |
(Die Philosophie prüft nicht die Kalküle der
Mathematik, sondern nur, was die Mathematiker über diese
Kalküle sagen.) |
„Ich habe ausgerechnet, daß es keine Zahl
gibt welche …”. – In welchem
Rechnungssystem kommt diese Rechnung vor? –
Dies wird uns zeigen in welchem Satzsystem der errechnete Satz
ist. (Man fragt auch: „wie rechnet man
so etwas aus?”) |
„Ich habe gefunden, daß es so
eine || eine solche Zahl gibt”. „Ich habe ausgerechnet, daß es keine solche Zahl gibt.” Im ersten Satz darf ich nicht „keine” statt „eine” einsetzen. – Und wie, wenn ich im zweiten statt „keine” „eine” setze? Nehmen wir an die || eine Rechnung ergibt nicht den Satz „~(∃n) etc.” sondern „(∃n) etc.”. Hat es dann etwa Sinn zu sagen: „nur Mut! jetzt mußt Du einmal auf eine solche Zahl kommen, wenn Du nur lang genug probierst”? Das hat nur Sinn, wenn der Beweis nicht „(∃n) etc.” ergeben, sondern dem Probieren Grenzen ⍈ Wenn nun z.B. der Beweis daß ~(∃n) etc. eine Induktion ist, die zeigt, daß, soweit ich auch gehe, eine solche Zahl nicht vorkommen kann, so ist das Gegenteil dieses Beweises (ich will einmal diesen Ausdruck gebrauchen) nicht der Existenzbeweis in unserem Sinne. (Das hängt damit zusammen, daß ich nicht in jedem Kalkül in dem ich Gleichungen gebrauchen, eo ipso auch die Verneinungen von Gleichungen gebrauchen darf. Denn 3 × 3 ≠ 7 heißt nicht, daß die Gleichung „3 × 3 = 7” nicht Sagt man, das Intervall im Existenzbeweis sei nicht wesentlich, da ein andres Intervall es auch getan hätte, so heißt das natürlich nicht, daß das Fehlen einer Intervallangabe es auch getan hätte. – Der Beweis der Nichtexistenz hat zum Beweis der Existenz nicht das Verhältnis eines Beweises von p zum Beweis des Gegenteils. Man sollte glauben, in den Beweis des Gegenteils von „(∃n) etc.” müßte sich eine Negation einschleichen || verirren können durch die irrtümlicherweise „~(∃n) etc.” bewiesen wird. Gehen wir doch einmal, umgekehrt, von den Beweisen aus & nehmen wir an, sie wären uns ursprünglich gezeigt worden & man hätte uns dann gefragt: was beweisen diese Rechnungen? Sieh auf die Beweise & entscheide dann, was sie beweisen. |
Die Methode der
Kontrolle der Wahrheit entspricht dem Sinn des
mathematischen Satzes. Kann von so einer
Kontrolle nicht die Rede sein, dann fällt die
|
(In Wirklichkeit konstruiert der „Beweis
des Hauptsatzes der Algebra” eine neue Art von
Zahlen.) |
Der
„Satz der Mathematik” welcher durch eine
Induktion bewiesen ist –, so aber, daß man nach dieser
Induktion nicht in einem System von Kontrollen suchen || fragen kann, – ist nicht Satz in dem Sinne in
welchem (a + b)² =
a² + 2ab + b² es ist. || es die
Antwort auf eine mathematische Frage
ist.
„Jede Gleichung G hat eine Wurzel”. Und wie, wenn sie keine hat? können wir diesen Fall beschreiben, wie den, daß sie keine rationale Lösung hat? Was ist das Kriterium dafür daß eine Gleichung keine Lösung hat? Denn dieses Kriterium muß gegeben sein || werden, wenn die mathematische Frage einen Sinn haben soll & wenn (Worin besteht die Beschreibung des Gegenteils; worauf stützt sie sich; auf welche Beispiele, & wie sind diese Beispiele mit einem besonderen Fall des bewiesenen Gegenteils verwandt? Diese Fragen sind nicht etwa nebensächlich, sondern absolut wesentlich.) (Die Philosophie der Mathematik besteht in einer äußerst genauen Untersuchung der mathematischen Beweise – nicht darin daß man die Mathematik mit einem Dunst umgibt.) |
„Wie kommt es, daß ich diesen Satz (der Geometrie
oder Arithmetik) nicht eigens beweisen muß, sondern daß er
durch den allgemeinen Beweis schon bewiesen ist?”
Aber Du mußt ihn ja beweisen, – indem Du
nämlich den besondern Satz
hinschreibst, denn das Übrige ist nur, was allen Beweisen solcher
Sätze gemeinsam ist. (Du mußt diesen
euklidischen Satz für
jedes Dreieck von neuem beweisen nur besteht allerdings
der Beweis nur in || das Besondere
dieses Beweises nur in der Zeichnung dieses Dreiecks das das
Übrige durch die allgemeine Form (den
euklidischen Beweis) schon
vorgesehen ist.) |
3 × 2 = 5 + 1 3 × (a + 1) = 3 + (3 × a) = (5 + b) + 3 = 5 + (b + 3) Warum nennst Denken wir nun jemand sagte „prüfen wir nach ob f(n) für alle n gilt” & nun fängt er an die Reihe zu schreiben: 3 × 2 = 5 + 1 3 × (2 + 1) = (3 × 2) + 3 = (5 + 1) + 3 = 5 + (1 + 3) 3 × (2 + 2) = (3 × (2 + 1)) + 3 = (5 + (1 + 3)) + 3 = 5 + (1 + 3 + 3) & nun bricht er ab & sagt: „ich sehe schon daß es für alle n gilt”. – So hat er also eine Induktion gesehen! Aber hatte er denn nach einer Induktion gesucht? Er hatte ja gar keine Methode um nach ihr || einer zu suchen. Und hätte er nun keine entdeckt, hätte er damit eine Zahl gefunden die der Bedingung nicht entspricht? – Die Regel der Kontrolle |
Wenn wir sagen die
Induktion beweise den allgemeinen Satz so
denken wir: sie beweist daß dieser Satz & nicht sein
Gegenteil wahr ist. || so wollen wir natürlich
zur Ausdrucksform übergehn sie beweise, daß dies
& nicht sein Gegenteil der Fall ist.
Welches wäre aber das Gegenteil des
Bewiesenen? Nun, daß
(∃n)~fn
der Fall ist. Damit verbinden wir zwei Begriffe: den
einen den ich aus meinem gegenwärtigen Begriff des Beweises von
(n)f(n) herleite
& einen andern der von der Analogie mit
(∃x) φx
hergenommen ist. (Wir müssen ja bedenken, daß
„(n) ∙ fn”
kein Satz ist, solange ich kein Kriterium seiner Wahrheit habe;
& dann nur den Sinn hat, den ihm dieses Kriterium
gibt. Ich konnte freilich
schon ehe ich das Kriterium hatte || besaß etwa nach einer Analogie zu
(x) ∙ fx
ausschauen.) Was ist nun das Gegenteil von dem was
die Induktion beweist? Der Beweis von
(a + b)² =
a² + 2ab + b² rechnet diese Gleichung aus
im Gegensatz etwa zu
(a + b)²
= a² + 3ab + b². Was
rechnet der Induktionsbeweis aus? |
3 + 2
= 5 + 1 & die Gleichung
3 × (a + 1)
= (3 × a) + 3 –
etc.. || Die Gleichungen:
3 + 2 =
5 + 1, 3 × (a + 1) =
(3 × a) + 3,
(5 + b) + 3 =
5 + (b + 3) im Gegensatz also etwa zu
3 + 2 =
5 + 6, 3 × (a + 1) =
(4 × a) + 2
|
Daher wir es seltsam empfinden, wenn
uns gesagt wird, die Induktion beweise den allgemeinen Satz; da wir
das richtige Gefühl haben, daß wir ja in der Sprache der
Induktion die allgemeine Frage gar nicht hätten stellen
können. Da uns ja nicht zuerst eine Alternative
gestellt war (sondern nur zu sein schien solange
wir an endliche Klassen dachten || uns ein Kalkül mit endlichen
Klassen vorschwebte).
Die Frage nach der Allgemeinheit hatte vor dem Beweis noch gar keinen Sinn, also war sie nie eine Frage, denn die Frage hätte nur Sinn gehabt, wenn eine allgemeine Methode bekannt gegeben wäre, ehe der besondere Beweis geliefert || geführt wurde || bekannt war. war sie auch keine Frage, denn die Frage hatte nur Sinn, wenn eine allgemeine Methode der Entscheidung gegeben war, ehe der besondere Beweis geliefert || geführt wurde. || bekannt war. || ist sie auch keine Frage, denn die Frage hätte nur Sinn gehabt, wenn eine allgemeine Methode der Entscheidung bekannt war, ehe der besondere Beweis bekannt war. || Die Frage nach der Allgemeinheit hatte vor dem Beweis durch Induktion noch gar keinen Sinn, also war sie auch keine Frage, denn die hätte nur Sinn gehabt, wenn eine allgemeine Methode der Entscheidung bekannt war, ehe der besondere Beweis bekannt war. Denn der Induktionsbeweis entscheidet nichts. || entscheidet keine || nicht in einer Streitfrage. |
Wenn gesagt wird:
„der Satz
‚(n) ∙ fn’
folgt aus der Induktion” heißt
nur, || : jeder Satz der Form
f(n) folge aus
ihr || der Induktion; &:
der Satz (∃n)~fn
widerspreche der Induktion heiße nur: jeder Satz der
Form ~f(n)
werde durch die Induktion widerlegt,
|
Denken
wir es stritten sich Leute darüber ob in der Division
1 : 3 lauter Dreier im
Quotienten herauskommen müßten; sie
hätten aber keine Methode wie dies zu entscheiden sei.
Nun bemerkt Einer von ihnen die induktive Eigenschaft von
Die Frage „gibt es eine rationale Zahl die die Wurzel von x² + 3x + 1 = 0 ist” ist freilich durch eine Induktion entschieden: – aber hier habe ich eben eine Methode konstruiert um Induktionen zu bilden; & die Frage hat ihren Wortlaut nur, weil es sich um eine Konstruktion von Induktionen handelt. D.h. die Frage wird durch eine Induktion entschieden, wenn ich nach dieser Induktion fragen konnte. Wenn mir also ihr Zeichen von vornherein so beschrieben war || auf ja & nein bestimmt war so daß ich rechnerisch zwischen ihnen entscheiden konnte wie z.B. ob der Rest in 5 : 7 gleich oder ungleich dem Dividenden sein wird. (Die Verwendung der Ausdrücke „alle …” & „es gibt …” für diese Fälle hat eine gewisse Ähnlichkeit wie die || mit der Verwendung des Wortes „unendlich” im |
Was man anfassen kann, ist ein
Problem. |
Kenne ich die
Regeln der elementaren Trigonometrie, so kann ich den Satz
sin 2x = 2 sin x
cos x kontrollieren aber nicht den Satz
sin x = x ‒
Die beiden Sätze stehen gleichsam auf zwei verschiedenen Ebenen. In der ersten kann ich mich bewegen, so weit ich will, ich werde nie zu dem Satz auf der höheren Ebene kommen. Der Schüler dem das Rüstzeug der elementaren Trigonometrie zur Verfügung stände & von dem die Überprüfung der Gleichung sin x = x ‒
|
16. Man könnte sagen: In der Geometrie
der Euklidischen Elemente kann man
nach der 3-Teilung des Winkels nicht suchen, weil es sie nicht
gibt – & nach der 2-Teilung nicht, weil es
sie gibt. |
In der Welt der
Euklidischen Elemente kann
|
Wir müssen übrigens hier
eine Unterscheidung zwischen gewissen Arten von Fragen machen,
eine Unterscheidung die wieder zeigt daß, was wir in der Mathematik
„Frage” nennen von dem
verschieden ist, was wir im alltäglichen Leben so
nennen. Wir müssen unterscheiden zwischen einer Frage
„wie teilt man den Winkel in zwei gleiche Teile”
& der Frage „ist diese Konstruktion die
Halbierung des Winkels”. Die Frage hat nur Sinn in
einem Kalkül der uns eine Methode zu ihrer
Lösung gibt; nun kann uns ein Kalkül zwar || sehr wohl eine Methode zur Beantwortung der einen Frage
geben aber nicht zur Beantwortung der andern.
Euklid
z.B. lehrt uns nicht nach der
Lösung seiner Probleme suchen sondern gibt sie uns &
beweist daß es die Lösungen sind.
Das ist aber keine psychologische oder pädagogische
Angelegenheit sondern eine mathematische.
D.h. der
Kalkül (den er uns gibt)
ermöglicht es uns nicht nach den Konstruktionen zu
suchen. Und ein Kalkül der es ermöglicht ist eben
ein anderer. (Vergleicht auch Methoden des
Integrierens mit denen des Differenzierens;
etc.) |
17. Ich kann nicht fragen, ob die 4 unter den
Kombinationszahlen vorkommt, wenn
Bezeichnen wir mit „Kardinalzahlen” nicht einen Teil der rationalen Zahlen, so können wir nicht ausrechnen ob
|
Statt
des Problems der 3-Teilung
des Winkels mit Lineal & Zirkel können wir nun ein ganz entsprechendes
aber viel übersichtlicheres untersuchen.
Es steht uns ja frei die Möglichkeiten der Konstruktion mit
Lineal & Zirkel weiter einzuschränken. So
können wir z.B. die Bedingung setzen,
daß sich die Öffnung des Zirkels nicht
verändern läßt. Und wir können
festsetzen daß die einzige Konstruktion die wir kennen – oder
besser: die unser Kalkül kennt – diejenige ist die man
zur Halbierung einer Strecke AB benützt
nämlich:
Ich will diese Geometrie das System α nennen & fragen: „ist die 3-Teilung der Strecke im System α möglich?” Welche 3-Teilung ist in dieser Frage gemeint? – denn davon hängt offenbar der Sinn der Frage ab. Ist z.B. die physikalische 3-Teilung gemeint? d.h. die 3-Teilung durch Probieren & Nachmessen. In diesem Falle ist die Frage vielleicht zu bejahen. Oder die optische Dreiteilung? d.h. die Teilung deren Resultat drei gleichlang aussehende Teile sind? Wenn wir z.B. durch ein verzerrendes Medium sehen so ist es ganz leicht vorstellbar daß uns die Teile a, b & c gleichlang erscheinen. Nun könnte man die Resultate der Teilungen im System α nach der Zahl der erzeugten Teile durch die Zahlen 2, 2², 2³, u.s.w. darstellen; & die Frage ob die 3-Teilung möglich ist könnte bedeuten: ist eine der Zahlen in dieser Reihe = 3. Diese Frage Es kann nun gefragt werden: ist die Teilung β in 108 Teile eine Teilung der Art α? Und diese Frage könnte wieder auf die hinauslaufen: ist 108 eine Potenz von 2? aber sie könnte auch auf eine andere Entscheidungsart hinweisen (einen andern Sinn haben) wenn wir die Systeme α & β zu einem geometrischen Konstruktionssystem verbinden so zwar, daß es sich nun in diesem System beweisen läßt, daß die beiden Konstruktionen die gleichen Teilungspunkte B, C, D „liefern müssen”.
Die Antwort auf diese Frage wäre der Beweis daß 2³ nicht durch 3 teilbar ist; oder der Hinweis darauf daß sich die Teile a, b, c wie 1:3:4 verhalten. Und nun könnte man fragen: habe ich also im System α nicht doch einen Begriff von der 3-Teilung, nämlich der Teilung, die die Teile a, b, c im Verhältnis 1:1:1 hervorbringt? Gewiß, ich habe nun einen neuen Begriff ‘3-Teilung einer Strecke’ eingeführt; wir könnten ja sehr wohl sagen daß wir durch die 8-Teilung der Strecke AB die Strecke CB
|
Die
Perplexität in der wir uns bezüglich des
Problems der 3-Teilung befanden war etwa die: Wenn die
3-Teilung des Winkels unmöglich ist –
logisch unmöglich – wie kann man dann überhaupt nach
ihr fragen? Wie kann man das logisch
Unmögliche beschreiben & nach seiner
Möglichkeit sinnvoll fragen?
D.h., wie kann man logisch nicht
zusammenpassende Begriffe zusammenstellen (gegen die
Grammatik, also unsinnig) & sinnvoll nach der
Möglichkeit dieser Zusammenstellung
fragen? – Aber dieses |
(Wir
sprechen von einer „Teilung des Kreises in 7
Teile” & von einer Teilung eines Kuchens in 7
Teile.) |
Man ist geneigt
zu glauben daß die
Notation, die eine Reihe durch Anschreiben einiger
Glieder mit dem Zeichen u.s.w.
darstellt wesentlich unexakt ist im
Gegensatz zur Angabe des allgemeinen Gliedes. Dabei
vergißt man daß die Angabe des allgemeinen Gliedes sich auf
eine Grundreihe bezieht, welche nicht wieder durch ein
allgemeines Glied beschrieben sein kann. So ist
2n + 1 das allgemeine
Glied der ungeraden Zahlen wenn n die Kardinalzahlen
durchläuft, aber es wäre Unsinn zu sagen n sei das
allgemeine Glied der Reihe der Kardinalzahlen.
Wenn
|
(Frege hätte noch gesagt: „es gibt
vielleicht Völker || Menschen, die in der
Kenntnis der Kardinalzahlenreihe nicht über die 5
hinausgekommen sind (& etwa das Übrige der Reihe
nur in unbestimmter Form sehen) aber diese Reihe existiert
unabhängig von uns”. Existiert das
Schachspiel unabhängig von uns oder nicht?
–) |
Den Mathematiker
muß es bei meinen mathematischen Ausführungen grausen,
denn die || seine Schulung hat ihn immer davon abgelenkt sich Gedanken &
Zweifeln, wie ich sie aufrolle, hinzugeben. Er hat sie als
etwas verächtliches ansehen lernen & hat um eine Analogie
aus der Psychoanalyse (dieser Absatz erinnert an
Freud) zu gebrauchen einen
Ekel vor diesen Dingen erhalten, wie vor etwas Infantilem.
D.h., ich rolle alle jene Probleme
auf, die etwa ein Knabe || Kind beim
Lernen der Arithmetik, etc. als
Schwierigkeiten empfindet & die der Unterricht
unterdrückt ohne sie zu |
Die Wirkung einer in die Sprache
aufgenommen falschen Analogie:
Sie bedeutet einen
ständigen Kampf & Beunruhigung (quasi einen
ständigen Reiz). Es ist, wie wenn ein Ding
aus der Entfernung ein Mensch zu sein scheint weil wir dann
gewisses nicht wahrnehmen & in der Nähe sehen
wir daß es etwa ein Baumstumpf ist. Kaum
entfernen wir uns ein wenig & verlieren
die Erklärungen aus dem Auge, so erscheint uns eine
Gestalt, sehen wir darauf hin näher zu, so sehen wir eine andere;
nun entfernen wir uns wieder, etc.,
etc. |
(Ich kann der Aufgabe der 3-Teilung des Winkels in einem
größern System ihren Platz bestimmen, aber nicht im System der
Euklidischen Elemente nach
ihrer Lösbarkeit fragen. || danach fragen, ob sie
lösbar ist. In welcher Sprache sollte
ich denn danach fragen? in der
Euklidischen? – Und ebensowenig kann ich in der
Euklidischen Sprache
nach der Möglichkeit der 2-Teilung des Winkels
fragen || im
Euklidischen System
fragen. Denn das würde in dieser Sprache auf eine
Frage nach der Möglichkeit schlechthin hinauslaufen, welche immer
Unsinn ist.) |
(*Die
Klassifikationen der Philosophen & Psychologen:
sie klassifizieren Wolken nach ihrer Gestalt.)
|
Es ist unmöglich
Entdeckungen neuartiger Regeln zu machen, die von einer uns
bekannten Form (etwa dem sinus eines Winkels)
gelten. Sind es neue Regeln, so ist es nicht
die alte Form. |
Man faßt
die Periodizität eines Bruches
z.B.
|
Und das Zeichen
[0˙3, 0˙ξ,
0˙ξ3] ist kein Ersatz für eine
Extension, sondern das vollwertige Zeichen selbst
& ebensogut ist „0˙3̇
”.
Es sollte uns doch zu denken geben daß ein Zeichen der Art
„0˙3̇
”
genügt um damit zu machen was wir brauchen.
Es ist kein Ersatz & im Kalkül gibt es keinen
Ersatz. Wenn man meint die besondere Eigenschaft der Division
|
Man könnte nun sagen: die
Stellen des || eines Quotienten von
1 : 3 sind notwendig alle
3, & das würde wieder nur heißen, daß der
erste Rest gleich dem Dividenden ist & die
erste Stelle des Quotienten 3. Die
Verneinung des ersten Satzes ist daher gleich der
Verneinung des zweiten. Es ist also dem
„notwendig alle” nichts entgegengesetzt was man
„zufällig alle” nennen könnte, „notwendig alle” ist sozusagen ein Wort.
Ich brauche nur fragen: Was ist das
Kriterium der notwendigen Allgemeinheit,
& |
Hat der rekursive Beweis von
a + (b + c) =
(a + b) + c ‒ ‒ ‒
A eine Frage beantwortet? & welche? Hat er eine Behauptung als wahr erwiesen & also ihr Gegenteil als falsch? Das, was man || Skolem den rekursiven Beweis von A nennt kann man so schreiben:
a + (b + 1) = (a + b) + 1
In diesem Beweis kommt offenbar der bewiesene Satz
gar nicht vor. – Man müßte nur eine allgemeine
Bestimmung machen die den Übergang in ihm erlaubt.
Diese Bestimmung könnte man so ausdrücken:
a + (b + (c + 1) = a + ((b + c) + 1) = (a + (b + c)) + 1 }(Ƒ) B (a + b) + (c + 1) = ((a + b) + c) + 1 α φ(1) = ψ(1) ∆ β φ(c + 1) = F(φ(c)) }(Ƒ) φ(c) = ψ(c) γ ψ(c + 1) = F(ψ(c)) Wenn drei Gleichungen von der Form α, β, γ bewiesen werden || sind, so sagen wir es sei „die Gleichung ∆ für alle Kardinalzahlen bewiesen”. Das ist eine Erklärung dieser Ausdrucksform durch die erste. Sie zeigt daß wir das Wort „beweisen” im zweiten Fall anders gebrauchen als im ersten. Es ist jedenfalls irreführend zu sagen wir hätten die Gleichung ∆ oder A bewiesen & vielleicht besser Hat nun der Beweis B eine Frage beantwortet, eine Behauptung als wahr erwiesen? Ja, welches ist denn der Beweis B: ist es die Gruppe der drei Gleichungen von der Form α, β, γ, oder die Klasse der Beweise dieser Gleichungen? Diese Gleichungen behaupten ja etwas (& beweisen nichts in dem Sinne in dem sie bewiesen werden). Die Beweise von α, β, γ aber beantworten die Frage, ob diese drei Gleichungen stimmen, & erweisen die Behauptung als wahr, daß sie stimmen. Ich kann nun erklären: die Frage, ob A für alle Kardinalzahlen gilt, solle heißen || bedeuten: „gelten für die Funktionen φ(ξ) = a + (b + ξ), ψ(ξ) = (a + b) + ξ Gleichungen α, β & γ?” Und dann ist diese Frage durch den rekursiven Beweis von A beantwortet, wenn hierunter die Beweise von α, β, γ verstanden werden (bezw. die Festsetzung von α & die Beweise von β & γ mittels α). Ich kann also sagen, daß der rekursive Beweis ausrechnet, daß die Gleichung A einer gewissen Bedingung genügt; aber es ist nicht die || eine Bedingung der Art wie sie etwa die Gleichung (a + b)² = a² + 2ab + b² erfüllen muß um richtig genannt zu werden. Nenne ich A „richtig” weil sich Gleichungen von der Form α, β, γ dafür beweisen lassen, so verwende ich |
Was heißt
„1:3 =
0˙3̇
”? heißt es
dasselbe wie „
„1 : 3 = 0˙3̇ ” ist ja nicht von der Art, wie „1 : 2 = 0˙5”; vielmehr entspricht „10 : 2 = 0˙5” dem „
dem „
Ich will einmal statt der Schreibweise „1 : 4 = 0˙25” die adoptieren „1
dann kann ich sagen diesem Satz entspricht nicht der: 1 : 3 = 0˙3̇ sondern z.B. der: „1
Nun steht B zur Behauptung A gelte für alle Kardinalzahlen im selben || in genau dem Verhältnis,
|
Der Gegensatz zu der Behauptung
„A gilt für alle Kardinalzahlen” ist
nun: eine der Gleichungen α, β, γ sei falsch.
Und die entsprechende Frage sucht keine
Entscheidung zwischen einem (x)fx & einem
(∃x)~fx.
|
Die Konstruktion der
Induktion ist nicht ein Beweis sondern eine bestimmte
Zusammenstellung (ein Muster || im Sinne von
Ornament) von Beweisen. Man kann ja auch nicht
sagen: ich beweise eine Gleichung wenn ich drei
beweise. Wie die Sätze einer Suite nicht einen
Satz ergeben. |
Der „rekursive Beweis” ist das allgemeine Glied
einer Reihe von Beweisen. Er ist also ein Gesetz nach dem
man Beweise konstruieren kann. Wenn gefragt wird, wie
es möglich ist daß mir diese allgemeine Form den Beweis eines
speziellen Satzes z.B.
7 + (8 + 9)
= (7 + 8) + 9 ersparen kann, so ist
die Antwort daß sie nur alles zum Beweis dieses Satzes vorbereitet
hat ihn aber nicht beweist (er kommt ja in ihr nicht
vor). Der Beweis besteht vielmehr aus der
allgemeinen Form zusammen mit dem Satz. |
Unsere gewöhnliche Ausdrucksweise trägt
den Keim der Verwirrung in ihre Fundamente indem sie
das Wort „Reihe”
einerseits |
Wir könnten uns || können also
den rekursiven Beweis
immer auch als Reihenstück mit dem
„u.s.w.” anschreiben
& er verliert dadurch nicht seine Strenge.
Und zugleich zeigt diese
Schreibweise klarer sein Verhältnis zur Gleichung
A.
Denn nun verliert der rekursive Beweis
jeden Schein einer Rechtfertigung von A im Sinne eines
algebraischen Beweises – etwa von (a + b)² =
a² + 2ab + b².
Dieser Beweis mit Hilfe der
algebraischen Rechnungsregeln ist vielmehr ganz analog einer
Ziffernrechnung. |
(„Every symbol is what it is & not
another symbol”.) |
Man kann auch so sagen:
Sofern man die Regel in irgendeinem Spiel
Dezimalbrüche zu bilden die nur aus der Ziffer 3 bestehen,
sofern man diese Regel als eine Art Zahl auffaßt, kann
eine Division sie nicht zum Resultat haben sondern
nur das, was man periodische Division nennen kann &
was die Form aa : b =
c hat. |
Kann es
keinen Beweis geben der bloß zeigt daß
z.B. jede Multiplikation im Dezimalsystem
nach den Regeln eine Zahl des Dezimalsystems
liefern muß? – Es müßte
analog sein einem Beweis dafür, daß durch Addition von
Formen || Ausdrücken der Art
(1),
((1) + 1),
(((1) + 1) + 1)
u.s.w. immer wieder Ziffern von dieser
Form erzeugt werden. Kann man das nun beweisen?
Der Beweis liegt offenbar in der Regel der Addition solcher
Ausdrücke, d.h. in der Definition &
in nichts anderem. (Man könnte ja auf die Frage
& auf die der Beweis die Antwort geben sollte auch
sagen: „Ja, was soll die Addition denn sonst
ergeben?”) |
Die rekursive
Definition ist eine Regel zur Bildung von Ersetzungsregeln.
Oder auch das allgemeine Glied einer Reihe
|
A als Regel für das algebraische
Rechnen kann nicht rekursiv bewiesen werden das würde man
besonders klar denken || sehen wenn man
den „rekursiven Beweis” als eine
Reihe arithmetischer Ausdrücke hinschriebe.
Schreibt man sie hin || Denkt man sie sich hingeschrieben
(d.h. ein Reihenstück mit dem
u.s.w.)
aber ohne die Absicht irgend etwas zu
„beweisen” & nun fragte
Einer: „beweist dies
a + (b + c) =
(a + b) + c?” so würden
wir erstaunt zurückfragen: „wie kann es denn so
was beweisen? in der Reihe kommen doch nur Ziffern &
keine Buchstaben vor!” – Wohl aber
könnte man nun sagen: Wenn ich für das
Buchstabenrechnen die Regel A einführe
so kommt dieser Kalkül dadurch in einem bestimmten Sinn in
Einklang mit dem Kalkül der Kardinalzahlen wie ich ihn
durch das Gesetz der
Additionsregeln (rekursive Definition a + (b + 1) =
(a + b) + 1) festgelegt habe. |
(Wenn die Regeln des algebraisch
Rechnens mit denen des Rechnens mit reellen Zahlen
übereinstimmen sollen, so muß ich z.B.
von der Gleichung x² + 2x + 2 = 0
sagen, sie habe keine Lösung. Ich werfe dann
alle quadratischen Gleichungen die keine Lösung
haben, sozusagen, in einen |
19.
Phänomenologische
Sprache: Die Beschreibung der unmittelbaren
Sinneswahrnehmung, ohne hypothetische Zutat. Wenn etwas,
dann muß doch wohl die Abbildung durch ein gemaltes Bild oder
dergleichen eine solche Beschreibung der unmittelbaren
Erfahrung sein. Wenn wir also
z.B. in ein Fernrohr sehen & die
gesehene Konstellation aufzeichnen oder
malen. Denken wir uns sogar
unsere Sinneswahrnehmung dadurch reproduziert daß zu ihrer
Beschreibung ein Modell erzeugt wird welches von einem
bestimmten Punkt gesehen diese Wahrnehmungen erzeugt, das Modell
könnte mit einem Kurbelantrieb in die richtige Bewegung
gesetzt werden & wir könnten durch Drehen der Kurbel die
Beschreibung herunterlesen. (Eine Annäherung
hierzu wäre eine Darstellung im Film.)
Ist das keine Darstellung des Unmittelbaren – was sollte eine sein? Was noch unmittelbarer sein wollte müßte es aufgeben eine Beschreibung zu sein. |
Was
wir die Zeit im Phänomen (specious
present) nennen können liegt nicht in der Zeit (Vergangenheit,
Gegenwart & Zukunft) der Geschichte, ist keine
Strecke dieser Zeit. Während, was wir unter
„Sprache” verstehen in der || Während
der Vorgang der „Sprache” in der
homogenen geschichtlichen Zeit abläuft.
(Denke an den Mechanismus zur Beschreibung der unmittelbaren
Wahrnehmung.) |
Aber
Von welcher Wichtigkeit kann || ist denn
diese || die || diese
Beschreibung des gegenwärtigen Phänomens die
für uns gleichsam eine fixe || zur fixen Idee werden
kann. Daß wir darunter leiden daß die
Beschreibung nicht das beschreiben kann,
was beim Lesen der Beschreibung vor sich geht. Es scheint
als wäre die Beschäftigung mit dieser Frage geradezu
kindisch & wir in eine Sackgasse hineingeraten. Und
doch ist es eine bedeutungsvolle Sackgasse, denn in sie lockt es
alle zu gehen, als wäre dort die letzte Lösung der
philosophischen Probleme zu suchen. – Es ist als
käme man mit dieser Darstellung des gegenwärtigen
Phänomens in einen verzauberten Sumpf, wo alles
Erfaßbare verschwindet.)
Anderseits brauchen wir eine Ausdrucksweise |
Wenn wir vom
Gesichtsraum reden, so werden wir leicht zu der
Vorstellung verführt als wäre er eine Art von Guckkasten
der jeder mit || vor sich herumtrüge.
D.h. wir verwenden dann das Wort
„Raum” ähnlich, wie wenn wir ein Zimmer
einen Raum nennen. In Wirklichkeit
kann doch das Wort
„Gesichtsraum” sich nur auf eine Geometrie
beziehen, || aber bezieht sich doch das Wort
„Gesichtsraum” nur auf eine Geometrie, ich
meine, auf einen Abschnitt der Grammatik unserer
Sprache. In diesem Sinne gibt es keine
„Gesichtsräume” die sich etwa
durch ihre Besitzer unterscheiden. || etwa jeder seiner
Besitzer hätten. (Und etwa auch
solche, vazierende, die gerade niemandem
gehören?) |
„Aber kann nicht ich in meinem Gesichtsraum eine
Landschaft & Du in dem Deinen ein Zimmer
sehen?” – Nein,
‚ich sehe in meinem
Gesichtsraum’ ist Unsinn. Es
muß heißen ‚ich sehe eine
Landschaft & Du
etc.’ & das
wird nicht bestritten. Was uns hier irreführt ist eben
das Gleichnis vom Guckkasten oder etwa von einer kreisrunden
weißen Scheibe die wir gleichsam
als Projektionsleinwand mit uns trügen & die
der Raum ist in dem das jeweilige Gesichtsbild
erscheint. Aber der Fehler an diesem Gleichnis ist, daß
es sich die Gelegenheit – die Möglichkeit – zum
Erscheinen |
Es
ist nun wichtig, daß der Satz „das Auge womit ich sehe,
kann ich nicht unmittelbar sehen” ein verkappter Satz der
Grammatik, oder Unsinn, ist. Der Ausdruck
„näher am (oder weiter
vom) sehenden Auge” hat nämlich eine
andere Grammatik als der „näher an dem blauen Gegenstand
welchen ich sehe”. Die visuelle Erscheinung die ich mit den Worten
beschreibe || der Beschreibung entspricht
¤ „der Ring
bewegt sich” || „A setzt die
Brille auf” ist von der grundverschieden die ich mit den
Worten beschreibe: „ich setze die Brille
auf”. Ich könnte nun sagen:
„mein Gesichtsraum hat Ähnlichkeit mit einem
Kegel”, aber dann muß es verstanden werden daß ich hier
den Kegel als Raum, als Repräsentanten einer
Geometrie, nicht als Teil des || eines Raumes
(Zimmer) denke. (Also ist es mit dieser Idee nicht
verträglich daß ein Mensch durch ein Loch an der Spitze in den
Kegel hineinschaut.) |
Zwingt mich etwas zu der Deutung, daß der Baum, den ich durch
mein Fenster sehe größer ist als das Fenster? Das
kommt darauf an wie ich die Wörter
„größer” &
„kleiner” gebrauche. – Denken wir
uns, die
normale || alltägliche visuelle
Erfahrung wäre es für uns, Stäbe in
verschiedenen |
Im
Gesichtsraum gibt es absolute
Lage. Wenn ich durch ein Aug schaue sehe ich meine
Nasenspitze.
Würde meine
Nasenspitze || diese abgeschnitten
& entfernt, mir aber dann in die Hand gegeben so könnte
ich sie ohne Hilfe des Spiegels & bloß durch die
Kontrolle des Sehens wieder an ihre alte Stelle setzen; auch dann
wenn sich inzwischen alles in meinem Gesichtsbild
geändert hätte. Der Satz „ich sehe
das sehende Auge im Spiegel” ist nur scheinbar von der Form
dessen „ich sehe das Auge des Andern im
Spiegel”, denn es hat keinen
Sinn zu sagen: „ich sehe das sehende
Auge”. Wenn ich „visuelles
Auge” das Bild nenne, was mir etwa das Auge eines
Andern bietet, so kann ich sagen daß das Wort „das
sehende Aug” nicht einem visuellen Auge
entspricht. |
Mein
Gesichtsfeld weist keine Unvollständigkeit auf die mich
dazu bringen könnte mich umzuwenden & zu sehen was
hinter mir liegt. Im Gesichtsraum gibt es kein
„hinter mir”; & wenn ich mich
|
Beziehung zwischen
physikalischem Raum & Gesichtsraum.
Denke an das Sehen bei geschlossenen Augen
(Nachtbilder etc.) &
an die Traumbilder. |
(Wir
befinden uns mit unserer Sprache (als physischer Erscheinung)
sozusagen nicht im Bereich des projizierten Bildes auf der
Leinwand, sondern im Bereich des Films der durch die
Laterne geht. Und wenn ich zu dem Vorgang auf der
Leinwand Musik machen will, muß das, was sie hervorruft, sich
wieder im Gebiet des Films abspielen. Das gesprochene Wort im Sprechfilm das die
Vorgänge auf der Leinwand begleitet, ist ebenso
fliehend wie diese Vorgänge, & nicht das Gleiche wie der
Tonstreifen. Der Tonstreifen begleitet nicht das Spiel auf
der Leinwand.) |
Gedächtniszeit. Sie ist (wie der
Gesichtsraum) nicht ein Teil der großen Zeit sondern
die spezifische Ordnung der Ereignisse oder Situationen
im Gedächtnis || in der
Erinnerung: In dieser Zeit gibt es
z.B. keine Zukunft.
Gesichtsraum & physikalischer Raum,
Gedächtniszeit & physikalische Zeit verhalten sich zu
20. |
Begriff &
Gegenstand: das ist bei Russell & Frege eigentlich Eigenschaft & Ding; &
zwar denke ich hier an einen räumlichen
Körper & seine Farbe. Man kann auch
sagen: Begriff & Gegenstand: das ist Prädikat
& Subjekt. Und die
Subjekt-Prädikat-Form ist eine
Ausdrucksform unserer Sprachen zum mindesten der
indogermanischen Sprachen || menschlicher
Sprachen. Es ist die Form x ist
y (xεy): „mein
Bruder ist groß”, „das Gewitter ist
nahe”, „dieser Kreis ist rot”,
„August ist stark”,
„2 ist eine Zahl”, „dieses Ding ist ein
Stück Kohle”. Wie nun die Physik von Körpern der Erfahrung den Begriff des materiellen Punktes abgezogen hat, ähnlich hat man von der Subjekt-Prädikat-Form unserer Sprachen die Subjekt-Prädikat-Form der Logik abgezogen. Die reine Subjekt-Prädikat-Form soll nun a ε f(x) sein wo „a” der Name eines Gegenstandes ist. Sehen wir uns nun nach einer Anwendung dieses Schemas um. Bei „Name eines Gegenstandes” denkt man zuerst an Namen von Personen & andern räumlichen Gegenständen (der Diamant Koh i Noor). So ein Name wird dem Ding durch eine hinweisende Erklärung gegeben („das↗ ist || heißt ‚N’”). Geben wir räumlichen Gegenständen Namen, so beruht unsere Verwendung dieser Namen auf einem Kriterium der Identität das die Kontinuität der Bewegung eines Körpers || des Körpers || der Körper & ihre Undurchdringlichkeit zur Voraussetzung hat. Könnte ich also mit zwei Körpern A & B das tun, was ich mit ihren Schattenbildern an der Wand tun kann, aus ihnen Eins machen & aus dem Einen wieder zwei, so wäre die Frage sinnlos welcher von den beiden nach der Trennung A & welcher B ist. Es sei denn daß ich nun ein ganz neues Kriterium der Identität einführe, etwa die Form ihrer Bahn (für den Namen eines Flusses der aus dem Zusammenfluß zweier Flüsse entsteht gibt es so eine Regel: der resultierende Fluß erhält den Namen desjenigen Quellflusses in dessen Richtung er fließt || annähernd er weiterfließt). Denken wir an die möglichen Kriterien der Identität etwa von Farbflecken in meinem Gesichtsfeld (oder den Figuren auf der Leinwand des Kinos¤) & an die verschiedenen Verwendungsarten von Namen die ich solchen Flecken oder Figuren gebe || eines Namens den ich einem solchen Fleck oder einer Figur gebe. |
Gehen wir nun zur Schreibweise
„(∃x) ∙ fx”
über, so ist klar daß dies eine Sublimierung der
Ausdrucksform unserer Sprache ist: „es gibt Menschen
auf Es hat also auf den Satz „(∃x) ∙ fx” nicht in allen Fällen die Frage einen Sinn „welche x befriedigen f”. „Welcher rote Kreis vom Durchmesser 1 cm befindet sich in der Mitte dieses Vierecks?”. Man darf übrigens die Frage „welcher Gegenstand befriedigt f?” nicht mit der Frage verwechseln „was für ein Gegenstand etc.?” Auf die erste Frage müßte ein Name zur Antwort kommen, die Antwort müßte also die Form „f(a)” annehmen können; auf die Frage „was für ein … ” |
Wenn man fragt: „was heißt denn
dann
‚5 + 7 =
12’ – was für ein Sinn oder Zweck bleibt
denn, noch für diesen
Ausdruck, nachdem man die Tautologien etc.
aus dem arithmetischen Kalkül ausgeschlossen || ausgeschaltet hat, – so ist die Antwort:
Diese Gleichung ist eine Ersetzungsregel, die
sich auf gewisse || bestimmte allgemeine
Ersetzungsregeln, die Regeln der Addition, stützt.
Der Inhalt von 5 + 7
= 12 ist (wenn einer es nicht wüßte) genau
das, was den Kindern Schwierigkeiten macht, wenn sie diesen Satz im
Rechenunterricht lernen. |
Keine Untersuchung der Begriffe, nur die Einsicht in den
Zahlenkalkül kann vermitteln daß
3 + 2 =
5 ist. Das ist es, was sich in uns auflehnt gegen
den Gedanken, die Tautologie daß „(∃3x) φx ∙ (∃2x) ψx ∙ Ind. ⊃ (∃5x) φx ⌵ ψx” der Satz 3 + 2 = 5 sein könnte. Denn das, wodurch wir diesen Ausdruck als Tautologie erkennen, kann sich selbst nicht aus einer Betrachtung von Begriffen |
Was die Zahlen
sind? – Die Bedeutungen der Zahlzeichen; &
nun diese || die
Untersuchung dieser Bedeutung ist
die Untersuchung der Grammatik der Zahlzeichen.
|
Wir suchen nicht nach einer
Definition des Zahl-Begriffs, sondern nach einer
Klärung der Grammatik des Wortes „Zahl”
& der Zahlwörter. || , sondern versuchen eine
Darlegung der Grammatik des Wortes „Zahl” &
der Zahlwörter. |
Messen einer Länge im Gesichtsfeld durch
Anlegen eines visuellen Maßstabes.
D.i., eines Stabes der durch
Teilstriche in gleiche Teile geteilt ist. Es gibt hier
eine Messung die darin besteht, daß der Maßstab an zwei
Längen angelegt wird. Und zwar können
2 Maßstäbe je einer an eine Länge
angelegt werden & das Kriterium für die Gleichheit
der Maßeinheit ist daß die Einheiten gleich lang
aussehen. Es kann aber auch ein Maßstab von einer
Länge || Strecke zur andern transportiert werden
& das Kriterium der Konstanz der Maßeinheit ist, daß wir
keine Veränderung merken. Während das Kriterium
|
21. Teilbarkeit. Unendliche
Teilbarkeit. Die unendliche Teilbarkeit der Euklidischen Strecke besteht in der Regel (Festsetzung), daß es Sinn hat von einem n-ten Teil jedes Teils zu sprechen. Spricht man aber von einer || der Teilbarkeit einer Länge im Gesichtsraum & fragt ob eine solche noch teilbar oder endlos teilbar ist, so suchen wir hier nach einer Regel, die einer gewissen Realität entspricht (aber wie entspricht sie ihr?). Ich sehe einen schwarzen Streifen an der Wand vor mir, – ist seine Breite teilbar? Was ist das Kriterium dafür? Hier gibt es nun unzählige Kriterien, die wir alle als Kriterien der Teilbarkeit im Gesichtsfeld bezeichnen || anerkennen würden & die stufenweise in einander übergehen. Vor allem könnte die Bedeutung von „Teilbarkeit” so festgelegt werden, daß ein Versuch sie erweist dann ist es also nicht „logische Möglichkeit” der Teilung sondern physische Möglichkeit, & die logische Möglichkeit die hier in Frage kommt ist in der Beschreibung Ich würde also sagen „a sei || ist teilbar” – weil ich b daneben sehe & „a sei || ist geteilt” wenn ich danach zwei Streifen von der Art b sehe. In der Aussage „a ist geteilt” bezeichnet a also einen Ort; das nämlich, was gleichbleibt ob a geteilt oder ungeteilt ist. Hier gibt es nun wieder verschiedenes was wir als „Ort im Gesichtsfeld” & „Bezeichnung || „Festlegung eines Ortes im Gesichtsfeld” bezeichnen. – Wir könnten aber einen Streifen nur dann teilbar nennen, wenn er sich in gleicher (gesehener) Breite in einen geteilten Streifen fortsetzt oder aber, wenn es uns gelingt einen geteilten Streifen |
Gibt es nun für die Teilbarkeit des Streifens im Gesichtsraum
eine Grenze? Nun – das kann ich festsetzen wie ich
will. – Das heißt: ich kann ein Zeichensystem
mit begrenzter Teilbarkeit oder eins mit unbegrenzter
Teilbarkeit einführen – nur kann ich natürlich die
Tatsachen nicht kommandieren & muß sie dann mit dem
von mir festgesetzten Zeichensystem entsprechend beschreiben.
Wenn also meine Vorstellung Wenn ich also sagte „wir suchen nach einer Regel, die einer gewissen Realität entspricht”, so liegt die Entsprechung in der Einfachheit & leichten Verständlichkeit der Darstellung. Die Regel wird durch die Tatsachen nur insofern gerechtfertigt, als die zweckmäßige Wahl eines Koordinatensystems durch ihre Anwendung auf eine Kurve gerechtfertigt wird die sich in dem System besonders einfach darstellen läßt. |
Es ist möglich im Gesichtsfeld zwei
gleich lange (d.h. gleichlang gesehene)
Strecken zu sehen deren jede etwa durch Farbgrenzen in
mehrere Teile gleiche Teile geteilt ist & beim Zählen
dieser Teile herauszufinden || zu finden daß ihre Anzahlen ungleich
sind. Wie ist es nun mit
der || einer Frage:
„Angenommen ich könnte 30 und 31 Teile als Zahl
übersehen, wäre es auch dann möglich
zwei Strecken von 30 & 31 gesichtsgleichen
Teilen als gleichlang zu sehen?” – Nun, wie
ist diese Frage zu entscheiden? Erstens || Vor allem: wie ist das,
wenn man 30 Teile als Zahl übersieht? Was kann man
dafür als eine Erklärung
geben? Wir können freilich niemandem einen
Kentaur zeigen, weil es keinen gibt, aber es
ist für die Bedeutung des Wortes
„Kentaur” wesentlich,
daß wir einen |
Verschiedene
Bedeutungen der Wörter „verschwommen”,
„unklar”. |
Wenn das Kriterium dafür daß
p aus q folgt darin besteht daß
man „beim Denken von q
p mitdenkt”, so denkt man wohl beim
Denken des Satzes „in dieser Kiste sind
10⁵ Sandkörner” die
10⁵ Sätze „in dieser
Kiste ist ein Sandkorn”, „… 2
Sandkörner” etc.
etc.? Was ist denn hier das Kriterium des
Mitdenkens! Und wie ist es mit dem || einem Satz: „der || ein
|
Wenn wir
die Bedeutungen der Wörter || Ausdrücke „gleichlang” &
anderer für den || im
Gesichtsraum mit den Bedeutungen der selben Wörter im
Euklidischen Raum verwechseln, dann
geraten wir in || kommen wir auf
Widersprüche & fragen dann:
„Wie ist so eine Erfahrung
möglich?! Wie ist
es möglich, daß 24 gleichlange
Strecken
zusammen die gleiche Länge ergeben wie 25
ebensolange? Habe ich
wirklich so eine
Erfahrung gehabt?” |
π' ist eine Regel zur
Erzeugung von Dezimalbrüchen und zwar ist die Entwicklung
von π' dieselbe wie die von
π außer wenn in der Entwickelung
von π eine Gruppe 777 vorkommt; in
diesem Falle tritt statt dieser
Gruppe die Gruppe 000. Unser Kalkül kennt keine
Methode um zu finden wo wir in der Entwickelung von
π auf so eine Gruppe
stoßen. P ist eine endlose Regel zur Erzeugung F ist eine Regel zur Erzeugung von Dualbrüchen. An der n-ten Stelle steht eine 0 außer dann wenn ein Zahlentrippel x, y, z aus den ersten 100 Kardinalzahlen die Gleichung xn + yn = zn löst. |
Man möchte sagen, die einzelnen Ziffern der Entwickelung
(von π
z.B.) sind immer nur die Resultate, die Rinde
des fertigen Baumes. Das worauf es ankommt, oder
woraus noch etwas Neues wachsen kann, ist im Innern des Stammes, wo
die Triebkräfte sind. Eine Änderung des
Äußeren ändert den Baum überhaupt
nicht. Um ihn zu ändern muß man in den noch
lebenden Stamm gehen. |
Ich
nenne „πn” die
Entwickelung von π bis zur
n-ten Stelle. Dann kann ich sagen:
welche Zahl
π'100
ist, verstehe ich, nicht aber π', weil
π ja gar keine Stellen hat, ich
also auch keine durch andere ersetzen kann. || welche
Zahl π'100
ist || bedeutet, verstehe ich, nicht aber,
(welche) π', weil π ja gar keine Stellen hat, ich
also auch keine durch andere ersetzen kann.
Anders wäre es wenn ich
z.B. die Division a
22.
das was ich oben definiert habe; es hat eine andere Grammatik, als die
von mir angenommene. In unserm Kalkül gibt es keine
Frage ob π ⋝ π' ist
oder nicht & keine solche Gleichung oder Ungleichung.
π' ist mit
π unvergleichbar. Und
zwar kann man nun nicht sagen
„noch
unvergleichbar”, denn sollte ich einmal etwas
π' Ähnliches konstruieren das mit
π vergleichbar ist dann wird das
eben darum nicht mehr π' sein. Denn
π' sowie
π sind ja Bezeichnungen für
ein Spiel & ich kann nicht sagen das Damespiel werde noch mit wenigen Steinen
gespielt als das Schach da es sich ja einmal zu einem Spiel mit 16
Steinen entwickeln könne. Dann wird es nicht mehr das
sein was wir
„Damespiel” nennen. (Es sei denn
daß ich mit diesem Wort gar nicht ein Spiel bezeichne
sondern etwa eine Charakteristik mehrerer
Spiele; & auch diesen Nachsatz kann
man auf π' & π
anwenden.) Da es nun ein
Hauptcharakteristikum einer Zahl ist, mit andern
Zahlen vergleichbar zu sein so ist die Frage ob man
π' eine Zahl nennen soll & ob eine
reelle Zahl; wie immer man es aber nennt, so ist
|
Es zeigt sich hier
klar, daß die Möglichkeit der
Dezimalentwicklung π' nicht zu einer Zahl im
Sinne von π macht.
Die Regel für diese Entwicklung ist natürlich
eindeutig so eindeutig wie die für π oder √2 aber das
ist kein Argument dafür daß π' eine reelle Zahl
ist, wenn man die Vergleichbarkeit mit andern reellen Zahlen
für ein wesentliches Merkmal der reellen Zahl
nimmt. Man kann ja auch von dem Unterschied
zwischen den rationalen & den irrationalen Zahlen
abstrahieren, aber der Unterschied
verschwindet doch dadurch nicht. Daß
π' eine eindeutige Regel zur
Entwickelung von Dezimalbrüchen ist
bedeutet || konstituiert
natürlich eine Ähnlichkeit zwischen π' &
π oder
√2; aber auch ein Intervall hat
Ähnlichkeiten mit einem Punkt, etc..
Allen Irrtümern, die in dieser Sache || diesem Kapitel
von || der Philosophie
der Mathematik gemacht
werden liegt immer wieder die Verwechslung zu Grunde zwischen internen
Eigenschaften einer Form (der Regel als Bestandteil des
Regelverzeichnisses) & dem was man im gewöhnlichen
Leben „Eigenschaft” |
„Wie
weit muß ich π entwickeln um es
einigermaßen zu kennen?” – Das heißt
natürlich nichts. Wir kennen es also schon
ohne es überhaupt zu entwickeln. Und, in diesem Sinne,
könnte man sagen, kenne ich π' gar nicht.
Hier zeigt sich natürlich nur ganz
deutlich, daß π' einem ganz anderen
System angehört als π,
& das erkennt man wenn man statt „die
Entwicklungen” der beiden zu vergleichen die Art der Gesetze
allein ins Auge faßt. |
Zwei mathematische Gebilde deren eines ich in meinem
Kalkül mit jeder rationalen Zahl vergleichen kann, das andere
nicht, – sind nicht Zahlen im gleichen Sinne des Wortes.
Der Vergleich der Zahl mit einem Punkt auf der Zahlgeraden ist nur
stichhältig wenn man für je zwei Zahlen
a & b sagen kann ob a rechts von
b oder b rechts von a liegt. |
Zu
sagen „zwei reelle Zahlen sind identisch, wenn sie in
allen Stellen ihrer Entwicklung
übereinstimmen”, hat nur dann Sinn wenn ich dem Ausdruck
„in allen Stellen übereinstimmen” durch eine
Methode diese Übereinstimmung festzustellen einen Sinn
gegeben habe. Und das Gleiche gilt natürlich
für den Satz „sie stimmen nicht überein wenn sie an
irgend einer Stelle nicht
übereinstimmen”. |
Könnte man aber nicht auch umgekehrt π' als das
Ursprüngliche & also als den zuerst angenommenen
Punkt betrachten & dann über die Berechtigung von
π im Zweifel sein? – Was ihre Extensionen betrifft sind sie natürlich
gleichberechtigt; was uns aber dazu
veranläßt
π einen Punkt auf der Zahlengeraden
zu nennen, ist seine Vergleichbarkeit mit den
Rationalzahlen. |
Wenn ich π, oder sagen wir
√2, als Regel zur Erzeugung von
Dezimalbrüchen auffasse, so kann ich natürlich eine
Modifikation dieser Regel erzeugen indem ich sage es solle jede
7 in der Entwicklung von √2 durch eine 5 ersetzt
werden; aber diese
|
Durch die falsche Auffassung des Wortes
„unendlich” & der Rolle der
„unendlichen Entwicklung” in der Arithmetik der
reellen Zahlen wird man zu der Meinung verführt, es gäbe
eine einheitliche Notation der irrationalen Zahlen
(nämlich eben die der unendlichen
Extension z.B. der unendlichen
Dezimalbrüche). Dadurch, daß man bewiesen hat, daß (
|
Gebe ich eine Regel ρ zur Bildung von
Extensionen an, aber so, daß mein Kalkül kein
Mittel kennt vorherzusagen, wie oft sich eine scheinbare Periode der
Extension höchstens || höchstens sich eine scheinbare
Periode der Extension wiederholen kann, kann ist
ρ mit
einer || von einer reellen Zahl insofern
verschieden als ich dann ρ ‒ a in manchen
gewissen Fällen nicht mit einer Rationalzahl vergleichen kann, so
daß der Ausdruck ρ ‒ a = b
unsinnig wird. Wäre also || z.B. die mir bekannte Entwicklung
von ρ bis auf weiteres 3˙1411111 … so ließe
es sich von der Differenz ρ ‒ 3˙141̇
nicht sagen, sie sei größer oder sie sei kleiner
als 0, sie läßt sich also in diesem Sinne nicht mit 0
vergleichen also nicht mit einem Punkt der
Zahlenachse & sie
& ρ nicht in demselben Sinne Zahl
nennen wie einen dieser Punkte. |
Es wäre eine gute Frage für die Scholastiker
gewesen: „kann Gott alle
Stellen von π
kennen”. |
Es tritt
uns bei diesen Überlegungen immer wieder etwas entgegen was man
„arithmetisches Experiment” nennen
möchte. Was herauskommt ist zwar durch das Gegebene
bestimmt, aber |
Die Kinder lernen in der Schule wohl
2 × 2 =
4 aber nicht
2 = 2.
|
Die Allgemeinheit in der
Arithmetik || Kardinalarithmetik wird durch die Induktion
dargestellt. Die Induktion ist der Ausdruck der
arithmetischen Allgemeinheit. |
Wogegen ich mich wehre, ist die Anschauung, daß
eine || die unendliche Zahlenreihe etwas uns
gegebenes sei, worüber es nun spezielle Zahlensätze
& auch allgemeine Sätze über alle Zahlen der Reihe
gibt. So daß der arithmetische Kalkül nicht
vollständig wäre, wenn er nicht auch
die allgemeinen Sätze über die Kardinalzahlen
enthielte, nämlich allgemeine Gleichungen der Art
a + (b + c) =
(a + b) + c. Während schon
1 : 3 = 0˙3̇
einem andern Kalkül angehört als
1 : 3 = 0˙3. Und so
ist eine allgemeine Zeichenregel
(z.B. rekursive Definition) die
für 1,
(1) + 1,
((1) + 1) + 1,
(((1) + 1) + 1) + 1,
u.s.w. gilt etwas andres als eine
spezielle Definition. Und die allgemeine Regel
fügt dem Zahlenkalkül etwas neues bei ohne welches er ebenso
vollständig gewesen wäre wie die Arithmetik der Zahlenreihe
1, 2, 3, 4, 5. |
Hat es keinen
Sinn, auch dann wenn der Fermatsche Satz bewiesen ist, zu sagen F =
0˙11? (Wenn ich etwa in der
Zeitung davon läse.) Ja, ich werde dann
sagen: „nun können wir also
schreiben ‚F =
0˙11’”.
D.h. es liegt nahe das Zeichen
„F” aus dem |
23. F wäre ja eine Zahl, von der wir nicht
wüßten ob sie rational oder irrational ist. Denken
wir uns ein Zahl von der wir nicht wüßten ob sie
eine Kardinalzahl oder eine Rationalzahl ist. –
Eine Beschreibung im Kalkül gilt eben nur, so viel
als dieser bestimmte Wortlaut & hat
nichts mit einem Gegenstand der Beschreibung zu tun, der
vielleicht einmal gefunden werden wird. & der
Beschreibung genügt. |
Man könnte – wie gesagt – den Induktionsbeweis
ganz ohne die Benützung von Buchstaben (mit
voller Strenge) anschreiben. Die rekursive
Definition a + (b + 1) =
(a + b)1 müßte dann als
Definitionsreihe geschrieben werden. Diese Reihe
verbirgt sich nämlich in der Erklärung ihres
Gebrauchs. Man kann natürlich auch der
Bequemlichkeit halber die Buchstaben in der Definition
beibehalten muß sich aber dann in der Erklärung auf ein
Zeichen der Art „1, (1) + 1,
((1) + 1) + 1,
u.s.w.” beziehen; oder, was auf
dasselbe hinausläuft „[1, ξ, ξ + 1]”.
Hier darf man aber nicht etwa glauben, daß dieses Zeichen
eigentlich lauten sollte „(ξ) ∙ [1, ξ, ξ + 1]”! – Natürlich ist die sogenannte „rekursive Definition” keine Definition im hergebrachten Sinne des Worts, weil keine Gleichung. Denn die Gleichung „a + (b + 1) = (a + b) + 1” ist nur ein Bestandteil von ihr. Noch ist sie das logische Produkt von Gleichungen. Sie ist vielmehr ein Gesetz wonach Gleichungen gebildet werden; wie [1, ξ, ξ + 1] keine Zahl ist sondern ein Gesetz etc.. (Das Überraschende || Verblüffende am Beweis von a + (b + c) = (a + b) + c ist ja daß er aus einer Definition allein hervorgehen soll. Aber α ist keine Definition sondern eine allgemeine Additionsregel.) Anderseits ist die Allgemeinheit dieser Regel keine andere als die der periodischen Division
Und vergessen wir nicht: Das Zeichen „[1, ξ, ξ + 1] … N interessiert uns nicht als ein suggestiver Ausdruck des allgemeinen Gliedes der Kardinalzahlenreihe, sondern nur, sofern es mit analog gebauten Zeichen in Gegensatz tritt: N im Gegensatz zu, etwa, [2, ξ, ξ + 3]; kurz als Zeichen, als Instrument, in einem Kalkül. Und das Gleiche gilt
|
1 + (1 + 1)
= (1 + 1) + 1,
2 + (1 + 1)
= (2 + 1) + 1,
3 + (1 + 1)
= (3 + 1) + 1,
4 …
u.s.w.
1 + (2 + 1) = (1 + 2) + 1, 2 + (2 + 1) = (2 + 2) + 1, 3 + (2 + 1) = (3 + 2) + 1, … u.s.w. 1 + (3 + 1) = (1 + 3) + 1, 2 + (3 + 1) = (2 + 3) + 1, 3 + (3 + 1) = (3 + 3) + 1, … u.s.w. ‒ ‒ ‒ u.s.w. ‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒ So könnte man die Regel „a + (b + 1) = (a + b) + 1” anschreiben. |
Vielleicht wird die Sache klarer,
wenn man als Additionsregel statt der rekursiven Regel
„a + (b + 1) =
(a + b) + 1” folgende gibt:
a + (1 + 1) = (a + 1) + 1 a + ((1 + 1) + 1) = ((a + 1) + 1) + 1 a + (((1 + 1) + 1) + 1) = (((a + 1) + 1) + 1) + 1 ‒ ‒ ‒ u.s.w. ‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒ Wir schreiben eine solche || diese Regel in der Form [1, ξ, ξ + 1] so: a + (
a + (ξ + 1) = (a + ξ) + 1 ‒ ‒ ‒ R a + ((ξ + 1) + 1) = ((a + ξ) + 1) + 1 |
Dann entspricht der Regel
„a + (b + 1) =
(a + b) + 1” die Form5 a + (1 + 1) = (a + 1) + 1 a + (ξ + 1) = (a + ξ) + 1 ‒ ‒ ‒ S a + ((ξ + 1) + 1) = ((a + ξ) + 1) + 1(Ƒ) der Regel R. |
In der Anwendung der Regel R,
Das Zeichen einer Regel ist ein Zeichen eines Kalküls wie jedes andere; seine Aufgabe ist nicht suggestiv (auf eine Anwendung hin) zu wirken, sondern im Kalkül regelmäßig nach Gesetzen || nach einem System gebraucht zu werden. Daher ist die äußere Form, wie die eines Pfeiles , nebensächlich, wesentlich aber das System worin das Regelzeichen verwendet wird. Das System von Gegensätzen – sozusagen – wovon || von denen || [worin] das Zeichen sich unterscheidet, etc.. Das was ich hier die Beschreibung der Anwendung nenne enthält ja selbst ein „u.s.w.”, kann also nur eine Ergänzung oder ein Ersatz des Regelzeichens selbst sein. |
Was ist nun der
Gegensatz eines allgemeinen Denken wir uns nun den allgemeinen Satz als Reihe geschrieben p11, p12, p13, … p21, p22, p23, … p31, p32, p33, … ‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒‒ ‒ ‒ & verneint. Wenn wir ihn als (x)f(x) auffassen, so ist er ein || betrachten wir ihn als logisches Produkt & sein Gegenteil ist eine || die logische Summe || Disjunktion der Verneinungen von p11, p12, etc.. Diese Disjunktion (nun) ist mit jedem beliebigen Produkt p11 ∙ p21 ∙ p22 ∙ p12 …pmn vereinbar. (Freilich || Gewiß, wenn man den Satz mit einem logischen Produkt vergleicht, so wird er unendlich vielsagend & sein Gegenteil nichtssagend.) (Bedenke aber: das „u.s.w.” steht in der Regel im Satz nach einem Beistrich nicht nach einem „und” („ ∙ ”). Das „u.s.w.” ist kein Zeichen ihrer Unvollständigkeit.) Daß man die Zahlenreihe durch die Regel laufen läßt, ist eine gegebene Form; darüber wird nichts behauptet & kann nichts verneint werden. Ich möchte sagen: Das Durchleiten des Zahlenstromes ist ja nichts wovon ich sagen kann, ich könne es beweisen. Beweisen kann ich nur etwas über die Form, den Model, durch den ich den Zahlenstrom leite. Kann man nun nicht sagen, daß die allgemeine Zahlenregel a + (b + c) = (a + b) + c (A) eben die Allgemeinheit hat wie a + (1 + 1) = (a + 1) + 1 (indem diese für jede Kardinalzahl, jene für jedes Kardinalzahlentrippel gilt); & daß der rekursive Beweis || Induktionsbeweis von A die Regel A rechtfertigt? Daß wir also die Regel A geben dürfen, weil der Beweis zeigt, daß sie immer stimmt? Rechtfertigt
„1
P
A ist eine vollkommen verständliche Regel; so wie die Ersetzungsregel P. Eine solche Regel kann ich aber darum nicht geben weil ich die einzelnen Fälle von A schon durch eine andere Regel berechnen kann, wie ich P nicht als Regel geben kann wenn ich eine Regel gegeben habe mit der ich 1
|
Darum kann ich nur sagen
„25 × 25
= 625 wird bewiesen”, wenn die Beweismethode
fixiert ist, unabhängig von dem speziellen Beweis.
Denn diese Methode bestimmt erst die Bedeutung von
„ξ × η”, also,
was bewiesen Die Arithmetik ist ohne eine Regel A vollständig, komplett. || es fehlt ihr nichts. Die Regel || Der Satz A wird (nun) mit Entdeckung einer Periodizität, mit der Konstruktion eines neuen Kalküls in die Arithmetik eingeführt. Die Frage nach der Richtigkeit dieses Satzes hätte vor dieser Entdeckung (oder Konstruktion) so wenig Sinn, wie die Frage nach der Richtigkeit des Satzes || von: „1
Nun ist die Festsetzung P verschieden vom Satz „1 : 3 = 0˙3̇ ” & insofern || in diesem Sinne ist „a + (b + ċ ) = (a + b) + ċ ” verschieden von einer Regel (Festsetzung) A. Die beiden gehören andern Kalkülen an. Der rekursive Beweis von A ist nur insofern ein Beweis, ich meine, man kann ihn nur insofern den Beweis einer Regel nennen – er hat nur insofern eine beweisende Beziehung zu A als allgemeiner arithmetischer Ersetzungsregel – als er die allgemeine Form der Beweise arithmetischer Sätze von der Form A ist. || Der Beweis einer Regel ist der Beweis von A nur insofern als er die Form der Beweise arithmetischer Sätze von der Form A ist. || Der Beweis einer allgemeinen Ersetzungsregel A ist der rekursive Beweis nur insofern als er die Form der Beweise arithmetischer Sätze von der Form A ist. || Der Beweis, die Rechtfertigung, einer Ersetzungsregel A ist |
Die Periodizität ist nicht das Anzeichen
(Symptom) dafür, daß es so weiter geht, aber der
Ausdruck „so geht es immer weiter” ist nur eine
Übersetzung in eine andere Ausdrucksweise
der Periodizität
des Zeichens || des periodischen
Zeichens. (Gäbe es außer dem
periodischen Zeichen noch etwas wofür
jenes Zeichen || die
Periodizität nur ein Symptom ist, so müßte
dieses Etwas seinen spezifischen Ausdruck haben, der nichts
anderes wäre, als der vollständige Ausdruck dieses
Etwas.) ¥ |
Eigentlich hat ja schon Russell durch seine
„Theory of
descriptions” gezeigt, daß man sich nicht eine
Kenntnis der Dinge von hinten herum erschleichen kann,
& daß es nur scheinen kann, als wüßten
wie von den Dingen mehr, als sie uns auf geradem Weg geoffenbart
haben. Aber er hat durch seine || die Idee der „indirect
knowledge” wieder alles verschleiert.
|
⍈
Wie ein Satz verifiziert wird, das sagt er.
Vergleiche die Allgemeinheit in der Arithmetik mit der
Allgemeinheit von nicht arithmetischen Sätzen. Sie
wird anders verifiziert & ist darum eine Andere.
[3 Seiten zurück;] Die Verifikation ist nicht ein bloßes Anzeichen der Wahrheit, sondern sie bestimmt den Sinn des Satzes. (Einstein: wie eine Größe gemessen wird, das ist sie.) Wie es sich nun mit derjenigen Allgemeinheit in der Mathematik verhält, die || deren Sätze nicht von „allen Kardinalzahlen” sondern z.B. von „allen reellen Zahlen” spricht, || handelt, kann man nur erkennen, wenn || indem man diese Sätze & ihre Beweise untersucht. || Wie es sich nun mit derjenigen Allgemeinheit, mit den Sätzen der Mathematik verhält, die nicht von „allen Kardinalzahlen” sondern z.B. von „allen reellen Zahlen” sprechen || handeln, kann man nur erkennen, wenn || indem man diese Sätze & ihre Beweise untersucht. |
Warum ich
sage, daß wir einen Satz wie den
Hauptsatz der Algebra nicht finden, sondern konstruieren? – Weil wir ihm beim Beweis einen neuen Sinn geben, den er
früher noch gar nicht gehabt hat. Für
diesen Sinn gab es vor dem sogenannten Beweis nur eine beiläufige
Vorlage in der Wortsprache. |
Wenn durch Entdeckungen die Kalküle der Mathematik
geändert werden || ein Kalkül der Mathematik geändert
wird, können wir die alten Kalküle || den alten
Kalkül nicht behalten (aufheben)?
(D.h., müssen wir ihn
wegwerfen?) Das ist ein sehr interessanter
Aspekt. Wir haben nach der Entdeckung des
Nordpols nicht zwei Erden: eine mit, &
eine ohne den Nordpol. Aber nach der Entdeckung
des Gesetzes der Verteilung der Primzahlen, zwei Arten von
Primzahlen. |
Denken wir
Einer würde sagen, das Schachspiel
mußte nur entdeckt werden, es war immer da!
Oder das reine Schachspiel war immer da, nur das
materielle von Materie verunreinigte, haben wir gemacht. |
Messung des Raumes & des
räumlichen
Gegenstandes. Das Seltsame am leeren Raum
& an der leeren Zeit. Die Zeit (& der
Raum) ein ätherischer Stoff.
„Was ist die Zeit?” – schon in der Frage liegt der Irrtum: als wäre die Frage: woraus, aus welchem Stoff, ist die Zeit gemacht. Wie man etwa fragt, woraus ist dieses feine Kleid gemacht. |
„Ergibt die Operation,
z.B., eine rationale Zahl” –
wie kann das gefragt werden, wenn man keine Methode zur
Entscheidung der Frage hat? denn die Operation
ergibt doch nur im festgesetzten Kalkül. Ich
meine: „ergibt” ist doch wesentlich
präsens || zeitlos. Es heißt doch nicht:
„ergibt mit der Zeit! – sondern,
ergibt nach der gegenwärtigen Regel. || nach der jetzt bekannten, festgelegten,
Regel. |
Die alles
gleich machende Gewalt der Sprache, die sich am krassesten im
Wörterbuch zeigt, & die es möglich macht, daß die
Zeit personifiziert werden konnte; was nicht weniger
merkwürdig ist, als es wäre, wenn wir Gottheiten der
logischen Konstanten hätten. |
Die philosophische Klarheit wird auf das
Wachstum der Mathematik den |
Denken wir
uns jemand stellte sich
folgendes || dieses || dieses
Problem: Es ist ein Spiel zu erfinden:
es || das Spiel soll auf einem
Schachbrett gespielt werden; jeder Spieler soll 8 Steine haben;
von den weißen Steinen sollen zwei (die
„Konsulen”) an den Enden der
Anfangsposition stehen durch die Regeln irgendwie
ausgezeichnet sein; sie sollen eine größere Bewegungsfreiheit
haben als die andern; von den schwarzen Steinen soll einer (der
„Feldherr”) ein ausgezeichneter sein; ein
weißer Stein nimmt einen schwarzen
(u.u.) indem er sich an dessen Stelle
setzt; das ganze |
„Er sagt das, & meint
es”: Vergleiche das einerseits mit:
„er sagt das, & schreibt es
nieder”; anderseits mit:
„er sagt das & unterschreibt
es”. |
Der
Glaube, daß mich das Feuer brennen wird, ist von der Natur der
Furcht, daß es mich brennen wird. |
Wenn man mich in's Feuer zöge, so
würde ich mich wehren & nicht gutwillig gehen; &
ebenso würde ich schreien: „das Feuer wird mich
brennen!” & ich würde nicht schreien:
„vielleicht wird es ganz angenehm sein!”
|
Ich kalkuliere so, weil
ich nicht anders kalkulieren kann. (Ich glaube
das, weil ich nichts andres glauben kann.) 6
|
1) Continuation from Ms-112,136r.
2) See facsimile; line connecting this sentence with the following one.
3) See facsimile; line connecting this sentence with the following one.
4) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
5) Deleted formulas.
6) Continuation in Ms-114,1v.
To cite this element you can use the following URL:
BOXVIEW: http://wittgensteinsource.com/BTE/Ms-113_n