Mathematik. |
Daß man ein Boot, einen Hut, einen Katzenkopf etc. aus einem Stück Papier nach gewissen Regeln falten kann, betrachten wir als Sache || Angelegenheit der Geometrie, nicht der Physik. Aber ist die Geometrie, so verstanden, nicht ein Teil |
Wie wenn man sagte:
‘wenn Du gut ausgeruht bist & Du addierst
die |
Es
heißt dann ungefähr, was wir “zu addieren
versuchen” nennen. Und wir sagen, von einem
Schüler z.B., er versucht die
& die Zahlen zu addieren, & meinen damit etwas
ganz bestimmtes, obwohl die Kriterien dafür, daß
das || es geschieht, nicht leicht
aufzuzählen sind. (Es ist wie ‘zu
|
Wie ist es mit dem Satz
“p
⊃ p ist eine Tautologie”? Er ist
etwa vergleichbar mit: “318 ist durch 3
teilbar”. |
Man könnte sich die Logik mit solchen Sätzen
betrieben denken. Und dann natürlich,
ebensogut || ebenso auch
mit Sätzen der Art “p ∙ ~p ist eine
Kontradiktion”.
Und daher auch einfach mit
Kontradiktionen wie
bisher mit Tautologien. Daß ich in einer
Beschreibung, oder einem Befehl Widersprüche
nicht dulde, daraus folgt nicht, daß ich sie in der Logik
nicht brauchen kann. |
Denke Dir
einen Satz || Sätze, wie
25 × 25 =
625, immer || gewohnheitsmäßig so
hingeschrieben || geschrieben:
25 × 25 ‒
625 = 0, & am Ende || endlich das
‘ =
0’ weggelassen, so daß einfach
(die) Sätze der Arithmetik die
Form arithmetischer Ausdrücke
annehmen, die gleich
0 sind, –
obwohl das || dies nicht
gesagt ist || wird.
Wäre diese Situation nicht ähnlich der in
unsrer Logik, die aus Tautologien besteht? |
21.10. Die
Konstruktion einer (neuen) Schlußregel kann man als
Einführung eines neuen
Sprachspiels
deuten. Ich denke mir eines, in welchem etwa eine
Person ‘p ⊃ q’ aussagt,
eine andere ‘p’, & eine dritte den
Schluß ‘q’ zieht. || Die Einführung einer neuen Schlußregel kann
man als Übergang zu einem neuen Sprachspiel
auffassen. Ich stelle mir eines vor, in
welchem etwa eine Person
‘p
⊃ q’ aussagt, eine andere
‘p’, & eine dritte den
Schluß zieht.” |
22.10. Es handelt
sich um die Beobachtung einer Fläche
Jetzt sind die Farben r, g, b, w, s, o. Es wird beobachtet, daß immer || jedesmal r ∙ b ⊃ w . ⊃ . s. Es wird auch beobachtet ~g ⊃ ~ s. Und Einer zieht den Schluß ~g ⊃ r ∙ b ∙ ~ w. |
Sind das echte
Beobachtungen, so müssen sie einander widersprechen
können. These implications, by the way, are really ‘material’ implications. |
Inwiefern hängt der Schluß von der Erfahrung
ab? |
Einer beobachtet
eine zweigeteilte Fläche & ruft aus “rot
& blau”; ein Anderer macht Oder ihn interessiert es, ob die Flächen rot oder gelb zeigen, & er sagt: “Also: rot oder gelb”. Er hat von ‘p ∙ p’ auf ‘p ⌵ r’ geschlossen. |
Ja, man kann sich ein
Sprachspiel denken, in dem || welchem der Eine immer den
für seine Tätigkeit || Funktion relevanten Schluß aus der
Angabe des Andern zu ziehen hat, || – etwa einen Schluß von
‘p
∙ q ∙ r’ auf
‘q’ – &
daß er in dieser Tätigkeit manchmal || auch aus dieser || einer |
23.10. ‘So machen
wir's’, dieser || . Dieser Regel folgen wir;
& wenn dabei etwas schief geht, so schieben wir's
nicht der Regel in die Schuhe. |
Einer beobachtet eine Fläche, die || welche in Quadranten geteilt ist.
Er ruft aus: “Ganz weiß”.
Ein Arbeiter, den die Farbe des Quadranten
No. 4 angeht, sagt:
“Also
No. 4
weiß”. Wenn nun in dem Arbeitsprozeß irgend etwas schief geht, so wird niemand sagen: aus |
Wie
aber, wenn wir Leute aus dem allgemeinen Satz auch
entgegengesetzt schließen sähen?
|
Denke Dir Einen, der
ein Patent auf eine Regel nimmt um Regeln zu erzeugen
nach denen Reihen von Kardinalzahlen erzeugt werden
können (etwa zum Zweck von Numerierungen).
Er sagt er habe eine Regel gefunden nach der alle
möglichen endlosen Reihen erzeugt werden können
& kein Konkurrent Vorher hatte er etwa geglaubt, da er sich so große Mühe gegeben habe alle Regeln in sein System einzuschließen, so könne er keine ausgelassen haben. Nun denkt er ganz anders über die Sache. Wie Einer, der nicht wußte, daß die Konstruktion einer Winkelteilung unmöglich sein könne. Er sieht es nun ganz anders |
Wie, wenn man sagte: Wer die Folge 1 2 3 umgekehrt hat,
lernt über sie, daß sie umgekehrt 3 2 1
ergibt? Und zwar ist, was er lernt, nicht eine
Eigenschaft dieser Tintenstriche, sondern der Folge von
Formen. Er lernt eine formale
Eigenschaft von Formen. Der Satz, welcher diese
formale Eigenschaft aussagt, wird durch die Erfahrung bewiesen, die
ihm die Entstehung der einen Form, aus der
andern in dieser || auf diese Weise, || , in dieser || , auf
diese Weise, aus der andern zeigt. |
Hat nun,
wer das lernt, zwei Eindrücke? Einen davon
daß die Reihenfolge umgekehrt wird, den andern davon
daß 3 2 1 entsteht? Und könnte er die Erfahrung,
den Eindruck, daß 1 2 3 umgekehrt wird nicht haben und doch nicht
den daß 3 2 1 entsteht? Vielleicht wird man
sagen: “nur durch eine seltsame
Täuschung”. – |
Warum man eigentlich nicht sagen kann, daß man jenen
formalen Satz aus der Erfahrung lernt – weil man es
nur || erst dann |
Darum
ist sie mehr wie die Erfahrung: ein Bild zu
sehen. |
Kann eine
Buchstabenreihe zwei Umkehrungen haben?
Etwa eine akustische & eine andere optische Umkehrung. Angenommen ich erkläre jemandem was die Umkehrung eines Wortes auf dem Papier ist, was man so nennt. Und nun |
Es
wäre möglich, daß man das genaue Spiegelbild eines
Profils sogleich nach diesem gesehen nie für das gleiche
& nur verkehrte in
anderer Richtung sehende || in die andere Richtung gedrehte
erklärte, sondern daß, um den Eindruck der genauen Umkehrung
zu machen, das Profil in den Maßen etwas || ein wenig
geändert werden müßte. |
Ich
will doch sagen, man könne nicht || habe kein Recht
zu sagen: wir mögen zwar über die
korrekte Umkehrung,
eines langen Wortes z.B., im Zweifel sein, aber
wir wissen, daß das Wort nur eine
Umkehrung hat. |
‘Ja, aber wenn es eine Umkehrung in diesem Sinne
sein soll, dann kann es nur eine geben!’
Heißt hier ‘in diesem Sinne’: nach diesen Regeln, oder: mit dieser Physiognomie. Im ersten Falle wäre der Satz tautologisch, im zweiten muß er nicht wahr sein. |
24.10.
“Notwendige
Wahrheit” “necessary proposition” – ein schlechter Ausdruck suggeriert eine feste starre Verbindung gewisser Gegenstände, wie Formen oder Zahlen in der Natur || . Läßt uns an eine starre Verbindung gewisser Gegenstände¤ (Formen, Zahlen, etc.) in der Natur denken; eine Art Naturwissenschaft dieser Fakten. D.h., wir bilden eine Art Superlativ der Starrheit einer Verbindung, wozu als Vorbild unsere Mechanismen dienen. |
Ein Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung kann einen Begriff
der Wahrscheinlichkeit des Eintreffens von Ereignissen
bestimmen oder aber auch einen Begriff der
Geometrie. || geometrischen Begriff. Gibt
es ¤ nun nicht eine reine Als solch eine reine Mathematik scheint sich uns ein || das Zeichenspiel anzubieten das allen solchen Deutungen gemeinsam ist. |
Und
wozu nun dies Zeichenspiel mit Axiomen || in den Formen
der Axiomatik spielen & nicht gleich so, wie es
sich für gewöhnlich mit einer Deutung
darstellt, || – nur mit
bedeutungslosen Zeichen gespielt? || Und wozu nun dies Spiel in den steifen
25.10. Formen der Axiomatik || axiomatischen Formen spielen statt gleich so wie es sich
uns darstellt wenn es eine Deutung hat – nur eben mit
bedeutungslosen Zeichengespielt. || .
|
Denke Dir also Menschen,
welche addierten, multiplizierten, dividierten, wie wir, nur ohne
jeden nützlichen Zweck;
etwa: weil es ihnen Spaß zu
machen scheint. || als eine harmlose
Unterhaltungwie es scheint. || . Die Jungen lernen es von den
Alten durch Zuschauen. Übrigens ist die Bemerkung
“ohne jeden nützlichen Zweck” ganz
irrelevant denn ◇◇◇ warum soll
Unterhaltung kein nützlicher Zweck |
Ein Traum: Mir träumte neulich: Ich steige auf einen Sessel & knie mit einem Knie auf einen Tisch. Der Tisch war eine Art flacher Schreibtisch, In dem Loch liegen zwei Spachteln, eine stählerne & eine hölzerne, die sehr schön gearbeitet ist und eine aussieht wie ¤ ein großer Brieföffner. Ich knie gerade auf den beiden Spachteln & breche die stählerne & die hölzerne. Fürchte mich daß mein Vorgesetzter sich darüber ärgern wird. |
Heute nacht träumte ich:
Ich steige eine Treppe
hinauf.
Auf dem obersten
Absatz
sind || ist in einer
Art Käfig ein Taubenpaar
Entweder zwischen diesen beiden Szenen oder nach der zweiten (ich weiß es nicht mehr) eine andere: Francis & Drobil sind mit mir in einem Zimmer (einer Schenke?) & ich fange ein Argument mit einem Dritten an der mir etwas gesagt hat das ich richtig stellen will (ich weiß nicht mehr was). Während ich mit ihm spreche sind die beiden andern fort gegangen, wie ich mich umdrehe sind sie nicht mehr da. Ich gehe sie im Haus suchen, will erst ins obere dann ins untere Schlafzimmer |
26.10. Ist ein
Schachproblem ein Problem der angewandten
Mathematik? Vergleiche es mit einem Problem der
theoretischen Mechanik. |
Wenn
die Math. ein Spiel ist, so gibt es
keinen Unterschied zwischen rein
mathem. Axiomen & nicht
rein mathematischen. Und man könnte ein Kapitel
der mathem. Physik ebensogut als
(ein) Spiel spielen, wie eins aus der
Zahlentheorie. |
Denke Dir die
Fünfeckskonstruktion gezeichnet & über sie
einen durchsichtigen Kegel gestellt & in ihm solche
Flächen gezogen (dreidimensionale Konstruktion)
daß jeder ebene Schnitt parallel zur Basis
offenbar wieder so eine erfolgreiche
Fünfeckskonstruktion ist || ergibt.
Dies wäre eine Konstruktion || ein Beweis |
Die
Augen & die Nase müssen nicht
‘irgendwie verwandt’
sein, um ein Gesicht zu ergeben. |
Es ist natürlich klar, daß der
Mathematiker, insofern er wirklich ‘ein Spiel
spielt’ keine || nicht Schlüsse
zieht. Denn ‘Spielen’ muß hier
heißen: nach || in
Übereinstimmung mit gewissen Regeln
handeln. Und schon das wäre ein
Heraustreten aus dem bloßen Spiel; wenn er den Schluß
zöge, daß er hier der allgemeinen Regel
gemäß so handeln dürfe. |
27. Aber wie
seltsam ist es, zu sagen, daß, wenn Einer die ganze Mathematik || mathem. Literatur
als Spiel schriebe || hervorbrächte, daß es || dies dann nicht Mathematik wäre!
Es kann, willst Du sagen, doch nicht auf gedankliche (psychologische) Prozesse ankommen. (Und soweit ist es richtig.) |
‘Diese müssen unwesentlich
sein. Gleichsam Abschweifungen vom
Thema.’ |
Statt des obigen konventionellen &
schlechten Beispiels wären farbengeometrische
Beobachtungen am Farbenkreis zu setzen, die nicht mit
|
28. Rechnet die
Rechenmaschine? |
Denk Dir, eine Rechenmaschine wäre durch
Zufall entstanden; & nun drückt Einer durch Zufall auf
ihre Knöpfe (oder eine Maus || ein Tier läuft
über sie) & sie rechnet das Produkt
25 ×
20. – |
Ich will sagen: Es ist der Mathematik
wesentlich, daß ihre Zeichen auch im Zivil gebraucht
werden. Es ist der Gebrauch |
So wie
es ja auch kein logischer Schluß ist, wenn ich
von
einem Gebilde (etwa Tonreihen) || ein
Gebilde in ein anderes transformiere (eine Anordnung
Stühle || von Stühlen etwa in eine andere) wenn diese
Anordnungen nicht außerhalb dieser Transformation einen
sprachlichen Gebrauch haben. |
Aber ist nicht das wahr, daß Einer, der keine
Ahnung von der Bedeutung der Russellschen Zeichen hätte,
R's Beweise nachrechnen
könnte? || der nichts von der
Bedeutung der
R'schen Zeichen wüßte,
die R'schen Beweise
nachrechnen
könnte? Und |
Wenn das Feld G gleichmäßig gelb ist || Das Feld G ist gleichmäßig gelb, S schwarz, W weiß, & a b c drei Töne von grau, die in gleichen Farbabständen von S zu W führen || leiten. Ebenso führen || leiten 1, 2, 3 von G nach S, 4, 5, 6 von G nach a u.s.w.. Dann wird man vielleicht sehen, daß die lotrechten Reihen 1, 4, 7, 10, 13 & 2, 5, 8, 11, 14 & 3, 6, 9, 12, 15 nicht gleichabständig sind. Dies || Und dies, oder das Entgegengesetzte, wäre eine farbengeometrische |
Ich meine: es könnte
sein, daß man keine Gleichabständigkeit der
waagrechten & || & der
senkrechten Reihen || Gleichabständigkeit der waagrechten
& || & senkrechten Reihen
nicht zugleich erreichen kann. || Es könnte also sein, daß man gleiche
Abstände || Farbabstände in den waagrechten
& in den senkrechten Reihen zugleich nicht erreichen
kann. |
Architektur ist eine
Geste. Nicht jede zweckmäßige Bewegung
des menschlichen Körpers ist eine Geste. Sowenig, wie
jedes zweckmäßige Gebäude Architektur.
|
29. Man
könnte eine menschliche |
Einen Beweis nennen wir etwas, was sich
nachrechnen, aber auch kopieren läßt. |
Wenn die Math. ein
Spiel ist, dann ist ein Spiel spielen Mathematik treiben, &
warum dann nicht auch: Tanzen? |
Man könnte sich den Fall denken,
daß Einer seinem eignen Rechnen weniger traut, als dem einer
Rechenmaschine. |
Denke Dir, daß Rechenmaschinen in der Natur
vorkämen || Naturprodukte wären, ihre
Gehäuse aber für die Menschen undurchdringlich
(wären). Und diese Menschen
benützten nun diese Maschine || Vorrichtungen etwa wie wir das Rechnen, wovon sie aber
|
30. Diesen Leuten
fehlen Begriffe, die wir haben; aber wodurch
ersetzen sie diese? || ; aber wodurch sind
die || diese bei ihnen ersetzt?
– |
Denke an den Mechanismus dessen Bewegung wir als
geometrischen (kinematischen) Beweis
ansahen: Das ist klar, das
normalerweise von Einem || einem der das Rad umtreibt nicht Ist es nicht ebenso mit dem, der zum Spiel Zeichen aneinander reiht & diese Reihen verändert; auch wenn, was er hervorbringt als Beweis angesehen werden könnte? |
Zu sagen, die
Math. sei ein Spiel, soll
heißen: wir brauchen beim Beweisen nirgends an die
Bedeutung der Zeichen appellieren, also an ihre außermathematische
Anwendung. Aber was heißt es denn
überhaupt, || : an diese
appellieren? Wie kann so ein Appell etwas
fruchten? Heißt das, aus der Mathematik heraustreten & wieder in sie zurückkehren, oder heißt es aus einer math. Schlußweise in eine andre treten? |
Was heißt es, einen neuen Begriff von
der Oberfläche einer Kugel gewinnen?
In wiefern ist das dann ein Begriff von der
Oberfläche einer Kugel? Doch nur
insofern er sich auf wirkliche Kugeln anwenden
läßt. |
Wieweit muß man einen Begriff vom ‘Satz’
haben, um die
R'sche mathem.
Logik zu verstehen? |
1.11.42. Wenn die
intendierte Anwendung der
Math. wesentlich ist, wie steht es da
mit Teilen der Mathematik, deren Anwendung , || – wenigstens die, was Mathematiker für eine
Anwendung hielten – || wenigstens || oder doch das, was
Mathematiker für eine || die Anwendung hielten || halten, – gänzlich
phantastisch ist. So daß man, wie in der Mengenlehre,
einen Zweig der Math.
treibt, von dessen Anwendung man sich einen ganz falschen Begriff
macht. Treibt man nun nicht doch
Mathematik? |
2.11. Wenn die
arithmetischen Operationen
lediglich zur Konstruktion einer Chiffre dienten wäre
ihre Verwendung natürlich grundlegend von der unsern
|
Kann man von Dem, der eine Regel des Entzifferns anwendet,
sagen, er vollziehe mathem.
Operationen? Und doch lassen sich seine
Transformationen || Umformungen so auffassen.
Denn er könnte doch sagen, er berechne,
was bei der Entzifferung des
Zeichens … nach der und der Regel herauskommen
müsse. || des Zeichens … gemäß
dem & dem Schlüssel herauskommen
müsse. Und der Satz, || : daß die Zeichen … dieser Regel
gemäß entziffert … ergeben |
Denke Dir
die Geometrie des vierdimensionalen Raums zu dem Zweck
betrieben, die Lebensbedingungen der Geister kennen zu lernen.
Ist sie darum nicht Mathematik? Und kann ich nun sagen
sie bestimme Begriffe? |
Wäre es
nicht seltsam || Würde es nicht seltsam klingen
von einem Kinde zu sagen, es könne bereits tausende
& tausende von |
Könnte man sich Menschen denken,
die im gewöhnlichen Leben etwa nur bis 1000 rechnen
& die Rechnungen mit höheren Zahlen ¤
mathem. Untersuchungen über
die Geisterwelt vorbehalten¤.3 |
‘Jedes
Ding ist sich selbst gleich’. Betrachte:
“Jedes Ding ist sich selbst sehr
ähnlich”! |
3.11. Warum nun hat
das ‘den Schein der Wahrheit’ & nicht
einfach den der Unsinnigkeit? |
Nehmen wir an, die Bahnen zweier Körper kreuzten
sich, so daß die beiden zu einer || in der Kreuzungsstelle zusammenfielen.
Man könnte dann sagen: wo sie
zusammenfallen sind sie einander gleich. Und das ist nicht
notwendig der Fall: denke etwa an eine |
Wenn wir Einem || jemandem zugeständen, daß ‘a
= a’ nichts sagt, ihn aber fragten ob er
sich nicht dennoch || doch noch lieber mit
einem der beiden Sätze ‘a = a’ und ‘a ≠ a’, als mit dem andern einverstanden erklärte; so ist kein Zweifel, er würde sich für ‘a = a’ entscheiden. |
Er würde sagen:
“Ein Ding ist jedenfalls nicht ungleich mit sich selbst || sich
selbst nicht ungleich”. |
Zu sagen “ein Ding
fällt mit sich selbst zusammen” ist eigentlich
eine |
4.11. Was für
eine Art Satz ist eine Gleichung, wie
y = 3x² + 4? Es ist jedenfalls kein Satz || Jedenfalls keiner der reinen Mathematik, obwohl er nur aus ‘mathematischen’ Zeichen besteht. || zusammengesetzt ist. Die Gleichung kann ein Satz der angewandten Math. sein. In der reinen Math. spielt sie die Rolle eines Satzteils || ist sie ein Satzteil (etwa des Satzes daß ihre Lösung für x = 1 y = 7 ist). (Und für “x = 1” gilt ähnliches.) |
“Ob das nun von einer
wirklichen Kugelfläche gilt – von der
mathematischen |
Tut ein
Mißverständnis, die mögliche || denkbare Anwendung |
Und abgesehen von einem
Mißverständnis, – wie ist es mit der bloßen
Unklarheit? |
Wer glaubt, die Mathematiker haben ein seltsames Wesen, die
√‒1, entdeckt, die || das quadriert nun doch ‒ 1
ergebe || ergäbe, kann
der nicht doch ganz gut mit komplexen Zahlen
rechnen & solche Rechnungen in der Physik
anwenden? Und sind's darum weniger
Rechnungen? In einer Beziehung steht freilich sein Verständnis auf schwachen Füßen; aber |
Wäre es nun nicht lächerlich, zu sagen, dieser
triebe nicht Mathematik? |
Es erweitert Einer die
Math., gibt neue Definitionen & findet neue
Lehrsätze – – & in gewisser
Beziehung kann man sagen, er wisse nicht, was er tut. –
Er hat eine vage Vorstellung, etwas
entdeckt zu haben wie einen Raum (wobei er an
ein || sein Zimmer |
Denken wir uns den primitiven Fall,
daß Einer zu seinem Vergnügen ungeheure
Multiplikationen ausführte um wie er sagt:
dadurch neue riesige Provinzen des Zahlenreichs zu
gewinnen. |
Denk
Dir das Rechnen mit der √‒1 wäre von einem Narren erfunden
worden, der bloß vom Paradoxen der Idee angezogen
die Rechnung als eine Art Gottesdienst || Gottes- oder Tempeldienst des
Absurden treibt. Er bildet sich ein |
Mit
andern Worten: Wer an die mathematischen
Gegenstände glaubt & ihre seltsamen
Eigenschaften, – kann der nicht doch Mathematik
betreiben? Oder: – treibt der nicht auch
Mathematik? |
5.11.
‘Idealer Gegenstand’. “Das
Zeichen ‘a’ bezeichnet einen idealen
Gegenstand” soll offenbar etwas über die Bedeutung, also
den Gebrauch von ‘a’ aussagen.
Und es heißt natürlich, daß dieser Gebrauch
in gewisser Beziehung ähnlich ist dem eines |
Man könnte sich so
ausdrücken: “Der Name
‘Regan’ im Lear
bezeichnet eine ideale Person”. |
Man könnte unter Umständen von einer
endlosen Kugelreihe reden. – Denken wir uns eine
solche gerade endlose Kugelreihe || Reihe von Kugeln in gleichen
Abständen & wir berechnen die Kraft, die alle diese
Kugeln |
Das
Gefühl des Seltsamen kommt hier von einem
Mißverständnis. Der Art von
Mißverständnis, die ein Daumenfangen des Verstandes
erzeugt, dem || –. – Dem ich Einhalt
gebieten will. |
Der Einwand, daß ‘das Endliche nicht das
Unendliche erfassen kann’ richtet sich
eigentlich gegen die Idee eines |
Oder
denke Dir, wir sagen einfach: “Diese Kraft
entspricht der Anziehung einer endlosen Kugelreihe die
so & so angeordnet sind & den Körper nach diesem
Attraktionsgesetz
anziehen”. Oder wieder: “Berechne die Kraft die eine endlose Kugelreihe, von der & der Beschaffenheit, auf einen Körper ausübt!” – Dieser Befehl hat doch gewiß Sinn. Eine bestimmte Rechnung ist beschrieben. |
Wie wäre es mit dieser Aufgabe:
“Berechne das Gewicht einer Säule von
sovielen aufeinander geschichteten || liegenden Platten, als es Kardinalzahlen gibt; die
unterste Platte wiegt 1 kg jede höhere immer die
Hälfte der vorhergehenden.” |
Die
Schwierigkeit ist nicht die, daß wir uns keine
Vorstellung machen können. Es ist leicht genug
sich irgend eine || welche Vorstellung
einer unendlichen Reihe, oder || von
dergl. || z.B.,
zu machen. Es fragt sich: was nützt uns die
Vorstellung. |
Denke Dir
unendliche Zahlen in: einem Märchen |
Denke Dir die Mengenlehre wäre als eine Art Parodie der || auf die Mathematik von einem Satiriker erfunden
worden. – Später hätte man dann einen
Nutzen || einen vernünftigen Sinn in ihr gesehen
& sie zur Mathematik
gerechnet || in die Mathematik einbezogen.
(Denn wenn der eine sie als das Paradies der Mathematiker
ansehen kann, warum nicht ein andrer als einen Scherz || Witz?) |
Die Frage ist: ist sie
nun |
Und warum ist sie offenbar
Mathematik? – Weil sie ein Zeichenspiel nach
Regeln ist? |
Werden hier nicht doch
offenbar Begriffe gebildet – auch wenn man sich
über deren Anwendung nicht im Klaren
ist? Aber wie kann man einen Begriff haben & sich über seine Anwendung nicht im Klaren sein? || nicht klar sein? |
6.11. Nimm die Konstruktion des
Kräfteparallelogramms || Kräftepolygons: ist das nicht ein
Stück Ist dies nicht ein Fall wie der des Stammes, welcher eine rechnerische Technik zum Zweck gewisser Vorhersagungen hat, aber keine Sätze der reinen Mathematik? |
Die
Rechnung die zur Ausführung einer Zeremonie
dient. Es werde z.B.
nach einer bestimmten Technik aus dem Alter des Vaters & der
Mutter & der Anzahl ihrer Kinder die Anzahl der Worte
einer Segensformel abgeleitet die auf das Haus der
Familie anzuwenden |
Dies wäre zwar ein
angewandtes Rechnen, aber es würde nicht dem
Zweck einer || der Vorhersage dienen. |
7.11. Wäre es
ein Wunder wenn die Technik des Rechnens eine Familie von
Anwendungen hätte?! |
8.11.
Wie seltsam die Frage
|
Was aber sagt der,
der || welcher, wie Weyl, sagt, eines sei klar: man werde oder werde
nicht, in der endlosen Entwicklung auf φ
kommen? |
Mir scheint, wer dies sagt, stellt schon selbst eine Regel,
oder ein Postulat auf. |
Wie, wenn man auf eine Frage hin
erwiderte: ‘Auf diese Frage gibt es bis
jetzt noch keine Antwort’? |
So könnte etwa der Dichter antworten der
gefragt wird ob der Held seiner Dichtung |
Die Frage – will ich sagen
– verändert ihren Status, wenn sie entscheidbar
wird. Denn ein Zusammenhang wird dann gemacht,
der früher nicht da war. |
Man kann von dem Abgerichteten fragen:
‘wie wird er die Regel ◇◇◇ || für diesen
Fall deuten?’, oder auch ‘wie
soll er die Regeln für diesen Fall
deuten’. Wie aber, wenn über diese Frage
keine Entscheidung getroffen wurde? – Nun, dann
|
Wir mathematisieren mit
den Begriffen. – Und mit gewissen Begriffen mehr als
mit andern. |
10.11. Ich will
sagen: Es scheint, als ob ein
Entscheidungsgrund bereits vorläge; & er
muß erst erfunden werden. |
Käme das darauf hinaus,
zu sagen: Man benutzt beim Reden || Denken über die gelernte Technik des
Entwickelns das falsche Bild einer vollendeten
Entwicklung (dessen, was man für gewöhnlich
‘Reihe’ nennt) & wird dadurch gezwungen
unbeantwortbare Fragen zu stellen. |
Denn schließlich müßte sich
doch jede Frage über die Entwicklung von √2 auf eine
praktische Frage, die Technik des Entwickelns betreffend,
bringen lassen || von √2 in Form einer
praktischen Frage die Technik des
Entwickelns betreffend, stellen lassen || von √2 als praktische |
Und es handelt sich hier
natürlich nicht nur um den Fall der Entwicklung einer
reellen Zahl oder
überhaupt um ein mathematisches
Zeichenspiel || die Erzeugung mathematischer Zeichen,
sondern um jeden analogen Vorgang, er sei ein Spiel, oder ein
Tanz, etc. etc. |
Wenn Einer den Satz
vom ausgeschlossenen Dritten als fundamentale || größte Wahrheit uns || uns als
fundamentale || größte
Wahrheit vorhält, so ist klar, daß mit seiner Frage
etwas nicht in Ordnung war || ist. || uns |
Wenn einer den Satz vom
ausgeschlossenen Dritten
aufstellt so legt er uns gleichsam zwei Bilder zur Auswahl
vor & sagt eins müsse der Tatsache
entsprechen. Wie aber, wenn es fraglich ist, ob
sich die Bilder hier anwenden lassen? |
Und wer von der endlosen
Entwicklung sagt sie müsse entweder die Figur φ
enthalten oder sie nicht enthalten zeigt uns
sozusagen |
Wie aber, wenn das Bild
in weiter Ferne zu flimmern anfinge? |
Von einer unendlichen Reihe zu sagen,
sie enthielte eine bestimmte Figur nicht, hat nur
unter ganz gewissen || speziellen
Bedingungen Sinn. |
11.11.
D.h., || :
man hat diesem Satz nur für gewisse Fälle Sinn
gegeben. |
Ungefähr
den: Es ist
im Gesetz dieser Reihe, keine Figur … zu
enthalten. |
“Nun gut, – so
können wir sagen: ‘Es muß entweder im
Gesetz der Reihe liegen, daß die Figur
in der Entwicklung vorkommt, oder das Gegenteil’.” || , oder
daß sie nicht vorkommt’.” Aber ist
das so? – “Nun, determiniert das
Entwicklungsgesetz die Reihe denn nicht
vollkommen? |
‘Aber es sind doch alle Glieder
der Reihe bestimmt vom
1sten bis zum
1000sten, bis zum
10¹⁰-ten, etc.
etc. || u.s.f. || vom 1sten bis zum
1000sten, bis zum
10¹⁰-ten, etc.
etc. || u.s.f.,
bestimmt; also sind doch alle Glieder
bestimmt.’ Das ist richtig, wenn es
heißen soll es sei nicht |
Willst Du mehr über die Reihe
wissen, so mußt Du, so zu sagen, in eine andere Dimension
(gleichsam wie aus der Linie in die Ebene || in
eine sie umgebende Ebene) gehen. – Aber ist denn ◇◇◇
nicht die Ebene da, wie die Linie, || die Ebene nicht
eben da, so wie die Linie, & nur zu
erforschen, wenn man wissen will, wie es sich
verhält? |
Nein, die Mathematik dieser
weiteren || weitern
Dimension muß so gut erfunden werden, wie jede
Mathematik. |
In
einer Arithmetik, in der man nicht weiter als 5 zählt, hat die
Frage, wieviel 4 +
3 ist noch keinen Sinn. Wohl aber kann das
Problem || die Aufgabe existieren, dieser Frage
(einen) Sinn zu geben.
D.h.: die Frage hat so wenig
Sinn, wie der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, auf sie
angewendet. |
Man
meint in dem Satz vom ausgeschlossenen
Dritten schon etwas |
12.11. Denke, ich
fragte, || : Was meint man
damit “die Figur … kommt in dieser Denke Dir, man sagte: “Entweder sie kommt |
‘Aber verstehst Du denn wirklich nicht, was gemeint
ist?!’ – Aber kann ich nicht
glauben, ich verstehe es &
mich irren? – |
Wie weiß ich denn, was es heißt: die
Figur … komme in der Entwicklung vor? Doch durch
Beispiele – die mir zeigen, wie das ist, wenn
… Diese Beispiele zeigen mir aber nicht, wie es ist, wenn
die Figur in der Entwicklung nicht vorkommt! |
Könnte man nicht sagen: wenn
ich wirklich ein |
Der allgemeine Satz die Figur kommt in der
Entwicklung nicht vor kann nur ein
Gebot sein. |
Wie wenn man die
math. Sätze als Gebote
ansieht & sie auch als solche ausspricht?
“25² gebe
625!”
Nun, – || –, || – || , ein Gebot hat eine innere & eine äußere Verneinung. |
Die Symbole
“(x).φx”
& “(∃x).φx”
sind wohl nützlich in der Math.,
wenn man im übrigen die Technik der Beweise || des Beweises der
Existenz oder
nicht
Existenz || Nicht-Existenz kennt auf den sich die
Russellschen Zeichen
hier beziehen. Wird dies aber offen
gelassen so sind diese Begriffe der alten Logik äußerst
irreführend. |
Wenn
Einer sagt: “aber Du weißt doch was ‘die
Figur kommt in der Entwicklung
vor’ bedeutet, nämlich das” –
& zeigt auf einen Fall des Vorkommens, – so kann
|
Das
Gegenteil von “es besteht ein Gesetz, daß
p” ist nicht: “es besteht ein Gesetz,
daß ~p”. Drückt man aber
das erste durch P, das zweite || andre
durch ~P aus, so wird man in
Schwierigkeiten geraten. |
13.11. Wie, wenn den Kindern
beigebracht wird, die Seltsam: wenn man so etwas als selbstverständlich, gleichsam ganz ruhig, aufnimmt, so verliert es alles Paradoxe. Es ist als sagte uns || mir jemand: Beruhige Dich, diese Reihe, oder Bewegung, läuft fort & fort ohne je aufzuhören. Wir sind sozusagen der Mühe überhaben (je) an ein Ende zu denken. |
‘Wir werden ein Ende nicht in
Betracht ziehen’. (We won't bother
about an end.) |
Man
könnte auch sagen: ‘für uns ist die Reihe
endlos’. |
‘Wir werden uns um ein Ende der Reihe nicht
bekümmern; für uns ist es immer
unabsehbar.’ |
14.11. Nicht
‘abzählbar’ sollte es heißen –
von den rationalen Zahlen etwa – sondern
‘abzählfähig’. Man kann die
rationalen Zahlen nicht |
15.11. Aber wo ist
hier das Problem? Warum soll ich nicht sagen, || ; || , was wir Mathematik
nennen sei eine Familie von Tätigkeiten zu einer Familie
von Zwecken. Die Menschen könnten z.B. Rechnungen zu einer Art || zum Zweck einer Art von Wettrennen gebrauchen. Wie Kinder ja wirklich manchmal um die Wette rechnen; nur daß diese Verwendung bei uns keine große || eine ganz untergeordnete Rolle spielt. |
Oder das Multiplizieren
könnte uns viel schwerer fallen, als es tut – wenn wir
z.B. im
Gedächtnis || nur mündlich rechneten,
& um uns eine Multiplikation zu merken, sie also zu erfassen,
wäre es nötig sie in die Form eines gereimten Gedichts zu
bringen. Wäre Es wäre sozusagen für jede neue Multiplikation eine neue individuelle Arbeit nötig. |
Wenn diese Leute nun
glaubten, die Zahlen wären Geister & durch ihre
Rechnungen erforschten sie das Geisterreich, oder
zwängen die Geister, sich zu offenbaren – wäre dies nun
Arithmetik? Oder – wäre es auch dann
Arithmetik, wenn diese Menschen die Rechnungen |
(Ich suche einen Abstieg.)
|
Der Vergleich mit der Alchemie liegt
nahe. Man könnte von einer Alchemie in der
Mathematik reden. |
‘Man kennt sich nicht
aus’ heißt nicht: man weiß nicht, wo man geht –
sondern, man weiß nicht wohin diese Richtung führen
wird & wohin jene andere führen wird. Ich
meine: wer sich im Wald verloren hat, sieht
allerdings || wohl den Fleck D.h., er wird sich verloren fühlen, obwohl er seine Umgebung klar vor sich sieht. So kennt man sich in den ‘Grundlagen’ der Math. nicht aus – nicht, weil man nicht weiß, was man tut; sondern weil die Geographie der großen Zusammenhänge uns unbekannt ist. |
Charakterisiert schon das die
mathem. Alchimie, daß || Macht schon das die mathematische
Alchimie aus, daß || Ist schon das die
mathematische Alchimie, daß die
mathem. Sätze |
In einem gewissen Sinn kann man in der
Math. darum nicht an die Bedeutung
der Zeichen appellieren, weil die
Math. ihnen erst die Bedeutung
gibt. |
Es ist
das Typische der Erscheinung von welcher ich rede,
daß das Mysteriöse an irgend einem
mathem. Begriff nicht
sofort als Fehler || irrige
Auffassung, |
Alles was ich machen || tun kann ist einen leichten Weg aus dieser
Unklarheit & dem Glitzern der Begriffe zeigen.
|
Man kann
seltsamerweise sagen, daß an allen diesen glänzenden
Begriffsbildungen ein sozusagen solider Kern
ist. Und ich möchte sagen, daß der es ist der sie
zu mathem. Produkten
macht. |
Man könnte sagen: Was
Du siehst schaut freilich mehr wie eine glänzende Lufterscheinung
aus; aber sieh sie von einem andern
Winkel || einer andern Seite an & Du
siehst sie als (einen) || den soliden
Körper, der nur von jener Richtung
aus gesehen || von || aus jener Richtung
gesehen glänzt || schimmert &
unkörperlich aussieht. || der nur
von || aus jener Richtung wie ein Glanz ohne
körperliches Substrat aussieht. || der nur aus jener Richtung wie ein Glanz aussieht der
zu keinem Körper gehört. |
Ich fürchte sehr
für die Gesundheit |
16.11. Ich habe die Tiefe
nicht einfach durch Weite ersetzt. |
‘Die Figur ist in der Reihe, oder sie ist nicht in der
Reihe’ heißt: entweder schaut die Sache so
aus oder sie schaut nicht so aus. |
Wie weiß man, was das Gegenteil des
Satzes “φ kommt in der Reihe vor”, oder auch des
Satzes “φ kommt nicht in der Reihe vor”
bedeutet? Diese Frage klingt unsinnig, hat aber
doch einen Nämlich: wie weiß ich, daß ich den Satz, “φ kommt in der Reihe vor”, verstehe. Es ist wahr, || : ich kann Beispiele geben für das Vorkommen & Nicht-Vorkommen. || geben für den Gebrauch solcher Aussagen, & auch der gegenteiligen. Und sie sind Beispiele dafür, daß es eine Regel gibt, die das Vorkommen in einer bestimmten Zone, oder einer Reihe von Zonen, vorschreibt, oder bestimmt daß dies || das Vorkommen ausgeschlossen ist. |
Wenn “Du tust es”
heißt: Du mußt es tun, & “Du |
Jeder
fühlt sich ungemütlich bei der Idee || dem Gedanken, ein Satz
sage aus || könne aussagen, in der endlosen Reihe
komme das & das nicht vor. Dagegen || – dagegen hat es gar nichts Befremdliches
daß ein Befehl aussagt || sage in
dieser Reihe dürfe, soweit sie auch fortgesetzt werde, das
nicht vorkommen. |
Woher aber dieser Unterschied zwischen:
“soweit |
Auf jenen Satz kann man fragen: “wie kann man so
etwas wissen”, aber nichts Analoges gilt vom
zweiten || Befehl. |
Die Aussage scheint sich zu
übernehmen, der Befehl aber gar nicht. |
Kann man sich denken, daß alle
mathematischen Sätze im Imperativ ausgesprochen
würden? Z.B.:
“10 × 10
sei 100”. |
Und wer nun
sagt: “Es sei so, oder es sei nicht so”,
der spricht nicht den Satz vom
ausgeschlossen Dritten aus, –
sondern || wohl aber eine Regel.
(Wie ich es auch || schon weiter oben
einmal gesagt habe.) |
17.11. Aber ist das
wirklich ein Ausweg aus der Schwierigkeit? Denn wie
verhält es sich dann mit allen anderen
mathem. Sätzen, sagen wir
25² =
625, gilt für diese nicht der Satz vom
ausgeschlossenen Dritten
innerhalb der Mathematik? |
Wie wendet man denn den Satz vom |
18.11. “Es
gibt entweder eine Regel die es gebietet, oder eine, die es verbietet || verbietet, oder eine, die es
gebietet”. |
Angenommen, es gibt keine Regel die das Vorkommen
verbietet, – warum soll es dann eine geben, die es
gebietet? |
Hat es
Sinn zu sagen: “Es gibt zwar keine Regel die das
Vorkommen verbietet, die Figur kommt aber tatsächlich doch
nicht vor”? – Und wenn das nun keinen Sinn
hat – || , wie kann das Gegenteil davon Sinn
|
Nun,
wenn ich sage, sie kommt vor, schwebt mir das Bild der Reihe vor, von
ihrem Anfang bis zu der || jener Figur
– wenn ich aber sage die Figur komme nicht vor, so
nützt mir kein solches Bild der
Reihe. || so nützt mir kein solches
Bild, & die Bilder gehen mir aus.
|
Wie, wenn die Regel
sich beim Gebrauch unmerklich biegen würde? Ich
meine so, daß ich von verschiedenen Räumen sprechen
|
Das Gegenteil von “es || φ darf nicht vorkommen” heißt
“es || φ darf vorkommen”.
Für ein endliches Stück der Reihe aber scheint
das Gegenteil von “es || φ darf in ihm
nicht vorkommen” zu sein: “es || φ muß darin
vorkommen”. |
19.11. Das Seltsame
in der Alternative “φ kommt in der
unendlichen Reihe vor, oder es kommt
nicht vor” ist, daß wir uns die beiden Möglichkeiten
separat || einzeln
vorstellen müssen, |
Wie weiß ich, daß der allgemeine
Satz “Es gibt …” hier Sinn
hat? Nun, wenn er zu einer Mitteilung über
die Technik des Entwickelns in einem Sprachspiel verwendet
werden kann. |
Eine Mitteilung heißt: “es darf nicht
vorkommen” – d.h.:
wenn es vorkommt, hast Du falsch gerechnet. Eine heißt: “es darf vorkommen”, d.h., es existiert so ein Verbot nicht. Eine heißt: “es muß in der & der Region (an den & den || diesen Stellen, immer in den & den || diesen Regionen) vorkommen”. Das Gegenteil davon aber scheint zu sein: “es darf – dort & dort – nicht vorkommen”, || – statt “es muß dort nicht vorkommen”. Wie aber, wenn man die Regel gäbe, daß, z.B., überall, wo die Bildungsregel von π 4 ergibt, statt der 4 auch eine beliebige andere Ziffer gesetzt werden kann. Zieh auch die Regel in Betracht die an gewissen Stellen eine |
20.11. Ist es nicht
so? Die Begriffe in den
mathematischen Sätzen von den unendlichen
Dezimalbrüchen sind nicht Begriffe von Reihen, sondern von der
unbegrenzten Technik des Entwickelns von Reihen. |
Wir lernen eine endlose
Technik: D.h., es wird uns etwas
vorgemacht, wir machen es nach; es werden uns Regeln gesagt &
wir machen Übungen in ihrer Befolgung; |
Das sind die
Fakten. Und was heißt es nun:
“φ kommt entweder in der Entwicklung vor, oder es kommt
nicht vor”! || ? |
Aber heißt das nun, daß es kein Problem gibt:
“Kommt die Figur φ in dieser Entwicklung
vor?”? – Wer das fragt |
Erst innerhalb einem,
erst zu errichtenden,
mathem. Gebäude
wird die Frage zur
mathematischen. || wird die Frage zur
Forderung einer mathematischen
Entscheidung. || mathem.
Gebäude läßt die Frage eine
mathem. Entscheidung zu
& wird somit zur Forderung einer solchen
Entscheidung.
|
Ist denn das Unendliche nicht
wirklich – kann ich nicht sagen: “diese zwei
Kanten der Platte schneiden sich im Unendlichen”?
|
Nicht “der Kreis hat diese
Eigenschaft weil er durch die beiden unendlich fernen Punkte …
geht”; sondern: “die Eigenschaften des Kreises
lassen sich aus dieser (merkwürdigen) Perspektive
betrachten || anschauen”. |
Es ist wesentlich
eine Perspektive & eine weithergeholte.
(Womit kein Tadel |
Was heißt das:
“der Mathematiker weiß nicht was er tut”, oder
“er weiß was er tut”? |
23.11. Kann man
unendliche Vorhersagungen machen? – Nun, warum soll
man nicht z.B. das Trägheitsgesetz
eine solche nennen? Oder den Satz, daß
ein Komet eine Parabel beschreibt?
In gewissem Sinne wird freilich ihre Unendlichkeit nicht sehr ernst genommen. |
Wie
ist es nun mit einer Vorhersagung, || : daß, wer π entwickelt, so weit er auch
geht || gehen mag, nie auf die Figur
φ stoßen wird? – Nun, man
könnte sagen, daß dies entweder eine
unmathematische Vorhersagung ist, oder
(aber) eine mathematische Regel. |
Jemand, der das
Entwickeln von √2 || √2 entwickeln gelernt hat
geht zu einer ◇◇◇
◇◇◇ Wahrsagerin, & sie
weissagt ihm, daß, |
Es scheint nun, daß so eine Vorhersage des richtig
Entwickelten denkbar wäre und sich von einem
mathem. Gesetz, daß es sich so
& so verhalten muß, unterschiede.
So daß es in der
mathem. Entwicklung einen
Unterschied gäbe zwischen |
24.11. Wie soll man
es entscheiden, || : ob eine
unendliche Voraussage Sinn hat? So jedenfalls nicht, daß || indem man sagt: “ich bin sicher, ich meine etwas, wenn ich sage …”. |
Auch ist wohl nicht so sehr die Frage,
ob die Voraussage irgend einen Sinn hat, als: was für eine
Art von Sinn sie hat. (Also, |
25.11. Die
Mathematiker lieben einen haut-goût an ihren Sätzen,
der, wie überall, dadurch zustande kommt, daß etwas in Fäulnis übergegangen
ist || von der Fäulnis
herrührt. |
‘Übereinstimmung’
heißt zum Teil, Friede & || der Friede & die Eintracht. |
28.11.
“Der unheilvolle
Einbruch” der Logik in die Mathematik. |
Denke Dir Menschen die keine
Gelegenheit |
1.12. Was kann man
eigentlich an der naiven Auffassung der ‘mathematischen
Realität’ falsch
nennen, || –
abgesehen von dem Abstoßenden der Auffassung
–? |
In dem so vorbereiteten Feld ist das ein
Existenzbeweis. |
Das
Verderbliche der logischen Technik ist, daß sie uns die |
Es ist beinahe als wollte man
sagen, daß das Tischlern im Leimen besteht. |
So könnte man Dedekinds Theorem ableiten wenn, was wir irrationale Zahlen nennen ganz
unbekannt wäre, wenn |
Der Beweis überzeugt Dich davon, daß es eine Wurzel der Gleichung gibt (ohne Dir eine Ahnung zu geben wo) – – wie weißt Du, daß Du den Satz verstehst, es gebe eine Wurzel? Wie weißt Du daß Du wirklich von etwas überzeugt bist? Du magst davon überzeugt sein, daß sich die Anwendung des bewiesenen Satzes finden lassen wird. Aber Du verstehst ihn nicht solange Du sie nicht gefunden hast. |
Wenn
ein Beweis allgemein beweist, es gebe eine Wurzel, so
kommt alles darauf an, in welcher Form er das beweist. Was
es ist, das hier zu diesem Wortausdruck führt, der ein
bloßer Schein ist & die
Hauptsache verschweigt. Während er
den Logikern nur die Nebensache zu verschweigen
scheint. |
2.12. Was hat die
Beweismethode zu tun mit dem, was bewiesen ist? |
Der eine Beweis |
‘Wir
müssen || müssen also annehmen, daß
… irgendwo 0 |
Der Satz als
Existentialsatz || Existenzsatz sagt uns, so zu sagen, ein Geheimnis.
|
3.12. Der Beweis zeigt
dieses Bild der Sache. – Aber damit ist es
noch nicht klar, was wir mit diesem Bild anfangen
können. |
Das Bewiesene sagt
“es || der Ausdruck muß irgendwo
0 werden”: Aber nun kommt alles darauf an,
wie der || an, auf welche Weise der Beweis das
sagt; ob das nun ein guter, oder ein, im Ganzen, irreführender
Ausdruck des Bewiesenen war, wird sich auf diese Weise
zeigen. Der Beweis kann Dich lehren, wie der
Satz etwa anzuwenden wäre. |
8.12.
“Abzählbar” dürfte es nicht heißen,
dagegen hätte es Sinn zu sagen
“numerierbar”. Und dieser Ausdruck
läßt auch die || eine Anwendung des Begriffs
erkennen. |
Das
mathematisch Allgemeine steht zum mathematisch Besonderen nicht
in dem Verhältnis wie sonst das Allgemeine zum
Besondern. |
Alles was ich sage kommt eigentlich darauf hinaus, daß man einen
Beweis wohl || genau kennen kann || & ihm auch Schritt für Schritt folgen
kann, & dabei doch, was bewiesen
würde || wurde,
nicht versteht. |
Und das hängt wieder damit
zusammen, daß man einen
mathem. Satz
richtig || grammatisch richtig bilden kann
ohne seinen Sinn zu verstehen. |
Wann versteht man ihn nun? – Ich glaube: wenn man ihn anwenden
kann. Man könnte vielleicht || könnte auch sagen: wenn man ein klares Bild von seiner Anwendung hat. Dazu aber genügt es nicht, daß man ein klares Bild mit ihm verbindet. |
Wie kommt es aber nun daß man einen
Satz, oder Beweis, auf diese Weise nicht verstehen, oder
mißverstehen kann? Und was |
Es gibt da, glaube ich, Fälle in denen man || Einer || den Fall, daß Einer den Satz
(oder Beweis) zwar anwenden kann,
über die Art der || dieser Anwendung aber
keine || nicht klar Rechenschaft zu geben im
Stande ist. Und den Fall, daß er den Satz auch nicht
anzuwenden weiß.
(Mult. Ax.)
|
Wie ist es in der
Beziehung mit 0
× 0 = 0? |
9.12. Man möchte sagen, das
Verständnis eines |
Die logische Notation verschluckt die Struktur. |
Um zu sehen, wie man etwas
‘Existenzbeweis’ nennen kann, was
keine Konstruktion des Existierenden zuläßt,
denke an die verschiedenen || verschiedenartigen Bedeutungen des Wortes
“wo”¤, den
(z.B. des topologischen |
10.12. Es kann ja
der Existenzbeweis nicht nur den Ort des
‘Existierenden’ offen || unbestimmt lassen, sondern es braucht auf einen
solchen Ort gar nicht anzukommen.
D.h.: wenn der bewiesene Satz lautet “es gibt eine Zahl, für die … ” so muß es keinen Sinn haben zu fragen “und welches ist diese Zahl”, oder zu sagen “und diese Zahl ist …” |
11.12. Vom Beweis
durch reductio ad absurdum kann man sich immer
vorstellen,
|
Die Schwierigkeit, die man beim Beweis
durch reductio |
Der indirekte Beweis sagt aber:
“wenn Du es so willst, darfst Du das
nicht annehmen: denn damit |
12.12.
Was mich in
einer Darstellung, wie z.B.
Hardy's, stört
ist die scheinbar sinnlose Varietät von Beweisen desselben
Satzes. Ich möchte sagen: jeder dieser Beweise gehört zu einer besonderen || bestimmten Gelegenheit bei welcher || der gerade er anzuwenden wäre. |
Du glaubst
daß
(
|
Ich
sage: Nenne, zur Abkürzung 14142
‘p’ & 10000
‘q’. Dann folgt aus Deiner Aussage
‘
|
Aber
Da aber q ˂ p sein muß, ist 2q ‒ p ˂ q ˂ p. Also ist
|
Man kann den Beweis aber auch so
anfangen: Wenn
kann
sein, da p ‒ q ˂ q ist. Wäre aber ein Bruch
|
Wohl aber kann
|
Ich meine: man könnte |
13.12. Statt
“Nehmen wir an (
|
Die Frage, ob
|
Dies
ist eine bestimmte Beweis-Maschinerie, nicht die
ewig-gültige Form eines Beweises. (Ich
denke an Gödels
einleitender beiläufiger
Beweisführung.) |
14.12. Die
geometrische Illustration der
math. Analysis ist allerdings
unwesentlich, nicht aber die geometrische Anwendung.
Ursprünglich waren die geometrischen Illustrationen
Anwendungen der Analysis. Wo sie aufhören dies zu
sein, können sie leicht gänzlich irreführen.
Hier haben wir dann die |
Die Idee des
‘Schnittes’ ist so eine gefährliche
Illustration. |
Nur soweit, als die Illustrationen auch Anwendungen
sind, erzeugen sie nicht
dieses || das || jenes gewisse
Schwindelgefühl, das die Illustration erzeugt im
Moment, wo sie aufhört eine mögliche Anwendung zu
sein; wo sie also dumm wird. |
Ich habe wahrscheinlich zu wenig Ruhe
& zu viel Unannehmlichkeit. |
15.12. Wir kämpfen jetzt
gegen eine Richtung. Aber diese Richtung wird sterben,
durch andere Richtungen verdrängt, und || .
Und dann wird man unsere Argumentation gegen sie
nicht mehr verstehen; nicht begreifen, warum man all das hat sagen
müssen. |
So
seltsam es klingt: die || Die Weiterentwicklung einer
irrationalen Zahl |
Eine Beweisführung ist prüde, wenn
die kleinste || geringste logische || , wenn die lässigste logische
Zweideutigkeit ängstlich vermieden wird, grober
Unsinn aber geduldet. || wird. || vermieden wird, & grober Unsinn
geduldet. |
Die Hauptunklarheit in der Mathematik ist die Unklarheit
darüber, was entdeckt & was bestimmt
wird. |
16.12. Eine Beweisführung ist
prüde: wenn man ängstlich die geringste logische
Zweideutigkeit vermeidet, aber groben Unsinn
duldet. |
Wie, wenn ich sagte, die allgemeine
Theorie der reellen Zahlen bereitet eine Phraseologie vor, die
dann im besondern Fall von großem Nutzen ist. – Aber indem || wenn sie diese
Phraseologie vorbereitet kann sie entweder ein selbständiges
Stück Mathematik sein || ist sie entweder ein
selbständiges Stück Mathematik, oder sie
könnte || kann die reellen Zahlen in
vager Allgemeinheit durch Beispiele behandeln.
Dabei würde natürlich die Exaktheit
nichts einbüßen, denn die Anwendung dieser
allgemeinen Fingerzeige auf jeden besonderen |
17.12. Den Fehler in
einem schiefen Raisonnement suchen &
Fingerhut-Verstecken.
|
Man könnte fragen: Was
könnte ein Kind von 10 Jahren am Beweis des
Dedekindschen Satzes
nicht verstehen? – Ist denn dieser Beweis
nicht viel einfacher, als alle die Rechnungen die
so ein || das Kind beherrschen muß? – Und
wenn nun jemand sagte: den tieferen Inhalt des Satzes kann es
|
Es wird nirgends
bei Hardy hervorgehoben,
daß die irrationale Zahl nicht in dem Sinne wie die
rationale Zahl ein Zahlzeichen besitzt.
Die Fiktion ist wohl, daß sie ein unendlich
langes hat. Am ehesten könnte natürlich
noch das Zeichen der Entwicklungsregel als das
Zahlzeichen gelten. – Aber dieses
Fehlen des Zahlzeichens bedeutet einen unendlich
fundamentalen Unterschied. |
Das Bild der
Zahlengeraden ist ein absolut
natürliches bis zu einem gewissen Punkt: nämlich, soweit man es nicht zu einer
allgemeinen Theorie der reellen Zahlen
gebraucht. |
23.12. Ich will,
daß alle Zeichnungen, Illustrationen die aus diskreten
Punkten & Strichen bestehen, wie sie in den
Büchern die Lehre von den irrationalen Zahlen, des
|
Aber angenommen, Du
hattest eine solche Lehre vom Wählen
diskreter Zahlen, – würdest Du nicht dennoch eine
allgemeine Lehre über die Funktionen
brauchen können. |
D.h.,
die Zeichnung würde nur gewisse Züge
(Eigenschaften) der Kurve aussprechen & nicht
einer Gleichung der Kurve entsprechen. Die Variable nimmt Aber ein Kreis könnte z.B. dazu dienen diese || die Werte zu begrenzen, etwa auszudrücken zu zeigen daß die Kurve ganz innerhalb des Kreises liegen muß. |
Und man braucht natürlich keine
Zeichnung sondern kann eine Art Formel verwenden, die aber
so einer Art Figur entspricht. |
Alles kommt darauf an, daß man die Kurve, den Wert der Variablen,
wählen |
Die Kurven könnten
sozusagen rationale Kurven sein, die man
wählen kann wie rationale Zahlen. |
Ich möchte also sagen daß die
Kontinuität einer Kurve die sich aus
ihrer Gleichung als
sekundäre Regel ergibt auch als
primäre Regel soll funktionieren können. |
Die Kontinuität eines
Streifens scheint leicht zu definieren. |
‘Ich stelle Dir alle
Punkte dieses Streifens zur Verfügung.’ |
Aber wie soll man die
kontinuierliche Teilung eines Streifens
erklären? |
Etwa durch
eine Kette gerader Strecken? |
29.12. Was an
meinen Spekulationen über einen extensiven
Kalkül, der sich mit dem der einzelnen Funktionen verbinden
ließe, nicht in Ordnung |
30.12. Die Variable, wie ich mir
sie denke, ist sozusagen eine topologische Einheit.
|
Warum soll ein Punkt
P(x,y) eine erlaubte
Angabe sein, & nicht auch eine ‘Linie
L(x1,y1 ❘
x2y2)’ was eine
kontinuierliche Verbindung von P(x1
y1) & Q(x2
y2) bedeuten soll.
L(P, Q) entspricht
nicht einer bestimmten Kurve, oder Gleichung |
Nichts ist so
schwierig in der Philosophie als den gegenwärtigen
Stand der Dinge anzuerkennen. |
‘Eine Kurve planen’
|
Ich will eine
Stätigkeit || Kontinuität des Fadens nicht der
Kurve. Des Fadens, mit dem man
stätige Kurven legen kann. |
Die Kontinuität des Fadens soll so
erklärt werden; daß er, gleichsam, nichts von der einen Seite
auf die andere durchläßt. |
1.1.43. Die Pfeile
besagen eigentlich, daß, || : wenn ich einem Punkt
P einen Punkt
Q zuordne
& R ist rechts von
P, daß dann
φ(R)– || , also S, über
Q liegen muß || soll, u. u.. Wenn ich dann
die Erlaubnis habe jedem beliebigen Punkt
d.h. (Zahl) zwischen
A &
B einen Punkt zwischen
C &
D zuzuordnen, so kann
man dies, die Erlaubnis einer stetigen
Zuordnung nennen. |
2.1.43. |
Wenn Du die reellen Zahlen in
eine höhere & eine niedere Klasse teilen willst,
so tu's erst einmal roh durch
zwei rationale Punkte P & Q. Dann halbiere P – Q & entscheide, in welcher Hälfte (wenn nicht im Teilungspunkt) der Schnitt liegen soll; wenn z.B. in der unteren, halbiere Hast Du ein Prinzip der unbegrenzten Fortsetzung, so kannst Du von diesem Prinzip sagen, es führe einen Schnitt aus, da es von jeder Zahl entscheidet, ob sie rechts oder links liegt. – Nun ist die Frage, ob ich durch ein solches Prinzip der Teilung überall hin gelangen kann oder ob noch eine andere Art der Entscheidung nötig ist; & man könnte fragen, ob nach der vollendeten Entscheidung durch das Prinzip oder vor der Vollendung. Nun, jedenfalls nicht |
Es ist mit dem
Dedekindschen Satz
wie mit dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten: Er
scheint ein Drittes auszuschließen, während von einem
Dritten in ihm nicht die Rede ist. |
Der Beweis des
Dedekindschen
Satzes arbeitet mit einem Bild, das ihn
nicht rechtfertigen kann, das eher vom Satz
gerechtfertigt werden soll. |
Ein Prinzip der Teilung siehst Du
leicht für eine unendlich fortgesetzte Teilung an,
denn es entspricht jedenfalls keiner endlichen Teilung &
scheint Dich weiter & weiter zu führen. |
Ist es aber nicht lächerlich, daß
mir die Idee eines allgemeinen intentionalen
Kalküls der Funktionen & Konstruktionen Er wird mit || in der Begleitung von Beispielen betrieben, oder es wird vorausgesetzt, daß uns so viele Beispiele gegenwärtig sind, daß wir jeden Moment Anwendung auf ein bestimmtes machen können. |
Ich will sagen: es muß ein
Gesetz geben, Es hängt alles davon ab ob so ein Befehl möglich ist. (Und er bezieht sich natürlich nicht auf das zufällige Finden von gewissen Funktionen.) Was heißt aber “konstruiere eine Kurve”? Es kann doch nicht heißen ziehe eine unendlich lange Linie. |
Man könnte auch so fragen:
könnte man nicht die Lehre |
Die Schwierigkeit der
◇◇◇ halb || bald intensionalen bald wieder
extensionalen
Betrachtungsweise || Auffassung beginnt schon beim Begriff des
‘Schnittes’. Daß man jede rationale Zahl ein Prinzip der Teilung der rationalen Zahlen nennen kann ist wohl klar. Nun entdecken wir Ist der Schnitt aber ein Prinzip der Teilung || aber ein Prinzip der Teilung ein Schnitt, so ist es dies doch nur weil man von beliebigen rationalen Zahlen sagen kann sie seien Was ist nun ein Schnitt der reellen Zahlen? Nun, ein Prinzip der Teilung in eine untere & eine obere Klasse. So ein Prinzip gibt also jede rationale & irrationale Zahl ab. Denn wenn wir auch kein System der irrationalen Zahlen haben Nun ist aber die Dedekindsche Idee, daß die Einteilung in eine obere & untere Klasse (mit den bekannten Bedingungen) die reelle Zahl ist. |
Der Schnitt ist eine extensive
Vorstellung. |
Es ist freilich wahr daß wenn ich
ein mathematisches Kriterium habe um für eine
beliebige |
Wir machen bei
Dedekind einen
Schnitt nicht dadurch, daß wir schneiden also auf den Ort
zeigen, sondern daß wir, || – wie
beim Finden der Quadratwurzel aus 2 || √2 – uns den
Enden zweier Klassen || einander
zugekehrten Enden der oberen & unteren Klasse
nähern. |
Nun soll bewiesen werden, daß keine andere Art von || anderen
Zahlen, als nur |
6.1. Wir
dürfen nicht vergessen || Vergessen wir
nicht, daß ursprünglich die
Teilung der rationalen Zahlen in zwei
Klassen keinen Sinn hatte, bis wir auf Gewisses aufmerksam machten,
was man so bezeichnen || beschreiben konnte.
Der Begriff ist vom täglichen Leben
Sprachgebrauch
hergenommen & scheint darum auch für die Zahlen
unmittelbar einen Sinn zu haben || haben zu müssen. |
Wenn man nun |
Denk' Dir, Du wolltest von
Spielen in der Verallgemeinerung sprechen. |
Haben wir zwei Reihen reeller Zahlen, deren eine
ganz unterhalb der andern liegt & deren Glieder sich einander
unbegrenzt nähern, dann kann man zwei Reihen
rationaler Zahlen konstruieren, die dem gleichen
Punkt zustreben:
d.h.: die untere rationale Reihe
läuft nirgends der unteren reellen vor, noch die obere
rationale der oberen reellen & die beiden rationalen
Reihen nähern sich einander unbegrenzt.
|
1) See facsimile; light deletion line with question mark over "nun ein Mann".
2) See facsimile; cancellation of new paragraph.
3) See facsimile; unclear sentence "... Rechnungen mit höheren Zahlen zu mathematischen Untersuchungen über die Geisterwelt vorbehalten hat".
To cite this element you can use the following URL:
BOXVIEW: http://wittgensteinsource.com/BTE/Ms-126_n