Man kann den Wert einer mathematischen Gedankenreihe darin erblicken, daß sie etwas Überraschendes || etwas uns Überraschendes zutage fördert: – weil es von großem Interesse, von großer Wichtigkeit ist, zu sehen, wie ein Sachverhalt durch die und die Art seiner || der Darstellung überraschend, oder paradox, wirkt || wird. || überraschend, oder erstaunlich, oder || ja auch paradox wird || ja paradox wird. |
Der Mathematiker aber ist kein Entdecker, sondern ein Erfinder. |
“Aber warum soll ich nicht überrascht sein, daß ich dahin geleitet worden bin?” – Denk Dir Du hättest einen langen algebraischen Ausdruck vor Dir; es sieht zuerst aus, als ließe er sich nicht wesentlich kürzen; dann aber siehst Du eine Möglichkeit der Kürzung und nun geht sie weiter, bis der Ausdruck zu einer kompakten Form zusammenschrumpft. Können wir (hier) nicht über dies Resultat überrascht sein? (Beim Patience-Legen geschieht ähnliches.) Gewiß, und es ist eine angenehme Überraschung; und sie ist von psychologischem Interesse, denn sie zeigt ein Phänomen des Nicht-Überblickens und der Änderung des Aspekts eines gesehenen Komplexes. Es ist interessant, daß man es diesem Komplex nicht immer ansieht, daß er sich so kürzen läßt; ist aber der Weg der Kürzung übersichtlich vor unsern Augen, so verschwindet die Überraschung. Wenn man sagt, man sei eben überrascht, daß man dahin geführt worden sei, so ist dies keine ganz richtige Darstellung des Sachverhalts. Denn diese Überraschung hat man doch nur dann, wenn man den Weg noch nicht kennt. Nicht, wenn man ihn ganz vor sich sieht. Daß dieser Weg, den ich ganz vor mir habe, da anfängt, wo er anfängt, und da aufhört, wo er aufhört, das ist keine Überraschung. Die Überraschung und das |
Ich staune immer wieder bei dieser Wendung des Themas; obwohl ich es
unzählige Male gehört habe und es auswendig
weiß.
Es ist vielleicht sein Sinn, Staunen zu erwecken.
Was soll es dann heißen, wenn ich sage: ‘Du darfst nicht staunen!’? Denke an mathematische Rätselfragen. Sie werden gestellt, weil sie überraschen; das ist ihr ganzer Sinn. Ich will (also) sagen: Du sollst nicht glauben, es sei hier etwas verborgen, in das man nicht Einsicht nehmen kann– –als seien wir durch einen unterirdischen Gang gegangen und kämen nun irgendwo ans Licht, ohne aber wissen zu können, wie wir dahin gekommen sind, oder welches die Lage des Anfangspunkts || Anfangs || Eingangs zum Ausgang des Tunnels ist || sei. Wie aber konnte man denn überhaupt in dieser Einbildung sein? Was gleicht in der Rechnung einer Bewegung unter der Erde? Was konnte uns denn dieses Bild nahe legen? Ich glaube: daß kein Tageslicht auf diese Schritte fällt; daß wir den Anfangs- und Endpunkt der Rechnung in einem Sinne verstehen, in dem wir den übrigen Gang der Rechnung nicht verstehen. |
Ist es nicht, als sähe man in einer Rechnung eine Art
Kartenaufschlagen?
Man hat die Karten gemischt; man weiß
nicht, was dabei vor sich ging: aber am Ende lag obenauf der
Zehner || diese Karte, und
das || dies bedeutet
… || es kommt
Regen. |
Unterschied zwischen dem Werfen des Loses und dem Auszählen vor
einem Spiel.
Könnten aber nicht naive Menschen auch im Ernstfalle statt einen
Mann auszulosen sich des Auszählens bedienen? |
Was tut der, der uns darauf aufmerksam macht, daß
beim Auszählen das Ergebnis abgekartet ist? |
Ich will sagen: “Wir haben keinen
Überblick über das, was wir gemacht haben, und
deshalb kommt es uns geheimnisvoll vor”.
Denn nun steht ein Resultat vor uns, und wir wissen nicht mehr,
wie wir dazu gekommen sind || es ist uns nicht durchsichtig,
aber wir sagen (wir haben
Und ist es nicht auch so, wenn ich sage: “Hier ist kein Geheimnis”? – Er hatte ja, in gewissem Sinne, nicht geglaubt, daß ein Geheimnis vorliegt. Aber er war unter dem Eindruck des Geheimnisses (wie der Andere unter dem Eindruck eines Befehles). In einem Sinne kannte er ja die Situation, aber er verhielt sich zu ihr (im Gefühl und im Handeln) ‘als läge ein andrer Sachverhalt vor’ – wie wir sagen würden. |
Oder: “Wenn Du schreibst
‘1, 4, 9, 16, …’, so hast Du nur vier Zahlen angeschrieben, und vier Pünktchen” – worauf machst Du da aufmerksam? Konnte jemand etwas anderes glauben? Man sagt Einem in so einem Falle auch: “Damit hat Du weiter nichts hingeschrieben als vier Zahlzeichen und noch ein fünftes Zeichen, || – die Pünktchen”. Ja, wußte er das nicht? Aber kann er nicht doch sagen: Ja wirklich, ich habe die Pünktchen nie als ein weiteres Zeichen in dieser Reihe || Zeichenreihe || als ein mathematisches Zeichen nach dem Zahlzeichen aufgefaßt, – das hier so allerdings so aussieht, wie weitere flüchtig geschriebene Ziffern, aber auch anders geschrieben werden könnte, daß es den Charakter eines Buchstabens oder Zahlzeichens hätte. || sondern als eine Art Andeutung weiterer Zahlzeichen aufgefaßt. |
Oder wie ist es, wenn man darauf aufmerksam macht,
daß eine Linie im Sinne
Euklids eine Farbengrenze ist und nicht
ein Strich; und ein Punkt der Schnitt solcher Farbengrenzen und kein
Tupfen?
(Wie oft ist gesagt worden, daß man sich einen
Punkt nicht vorstellen kann.) |
Man kann in der Einbildung leben,
denken, || – daß es sich so und so
verhält, ohne es zu glauben;
d.h.: wenn man gefragt wird, so
weiß man es, hat man aber nicht auf die
Frage zu antworten, so weiß man es
nicht,
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Denn eine Ausdrucksform läßt uns so und so
handeln.
Wenn sie unser Denken beherrscht, so möchten wir trotz aller
Einwendungen sagen: “in gewissem Sinne verhält es sich
doch so.”
Obwohl er gerade auf den ‘gewissen Sinn’
ankommt.
(Ähnlich beinahe, wie es uns
die Unehrlichkeit eines Menschen bedeutet, wenn wir
sagen: er sei kein Dieb.) || (Sieh' || Betrachte doch nur die
Technik unserer elenden Zeitungen an!) || Vergiß doch nicht was Dir || Vergessen wir doch nicht was uns … täglich vor Augen
ist, || : || –
die Technik unsrer Zeitungen.
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