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Wie kann uns ein allgemeiner Beweis den besondern Beweis
schenken? |
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Weil es sich in dem einen Fall so verhält – wie kann ich wissen,
dass es sich in dem andern so
verhält?
Und ein ‘Sich so verhalten müssen’ gibt es
nicht.
Ist es nicht so, so kann man auch nichts machen.
Nur was ˇv[l|o]n uns abhängt, können wir im Voraus
bestimmen.
Man möchte wohl sagen: Die selbe Konstruktion ist ein Beweis des geometrischen Satzes für das bestimmte Dreieck; wir können sie aber auch allgemein meinen // auffassen // ; oder: wir können an ihr auch einsehen, dass das, was für dieses Dreieck gilt, für jedes andre auch gelten muss. – Aber worin besteht dieses “meinen” // “auffassen” // und das﹖ “einsehen”? Die psychologischen Prozesse kümmern uns ja nicht. “Das Dreieck steht eben hir für irgend ein Dreieck”. Aber worin besteht dieses “für etwas stehen”? Es handelt sich für uns eben wieder nur um den Ausdruck jener ‘Auffassung’, d.h. den Ausdruck dessen, was wir auffassen oder einsehen und den Ausdruck dafür, dass das Dreieck nur für sich selbst oder für alle Dreiecke steht. Der Kalkül muss (wieder﹖) fest- 2 gestellt werden.
Nicht seelische Vorgänge interessieren uns, sondern symbolische. |
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Der Beweis kann also nichts prophezeien. |
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Ist der Beweis, für A ausgeführt, auch der Beweis für
B? so
dass es ganz gleichgültig ist, im welchem Dreieck er
gezeichnet ist.
Und, wenn er also in beiden Dreiecken gezeichnet wäre, nur
derselbe Beweis wiederholt wäre.
Dass also das Zeichen des Beweises – der
Beweis als
Zeichen // Symbol //
– ebensogut aus der Konstruktion in AA und dem Dreieck
B bestehen
könnte, wie aus diesem Dreieck und einer Konstruktion in ihm. |
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Wie macht mich der allgemeine Induktionsbeweis // Beweis // sicher // gewiss // ,
dass der besondere das ergeben wird? |
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(Verachte nur nicht die simplen Kalküle, wie sie jedes Kind und jede
Kaufmannsfrau benützt.) |
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Und hier kann man die beiden Fälle deutlich unterscheiden, von denen
wir im geometrischen Beweis sprachen.
Denn die Figur kann allgemeiner Beweis gelten, und auch nur als Beweis von 6 + (4 + 3) = (6 + 4) + 3, und ich kann den beweis von 3 + (7 + 2) = (3 + 7) + 2 so hinschreiben: ) 3 |
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Ein Kalkül ist nicht strenger, als ein anderer!
Man muss nur die Grenzen eines jeden
kennen.
Nur insofern kann man einen Kalkül unstreng nennen, als seine Regeln nicht klar formuliert sind. |
| | ) ) ” Schritt für
Schritt // Stufe für Stufe // durchgehen, um
mich h zu vergewissern, dass es
nach diesem Plan gebaut ist.
Dem Plan, für welchen // den // der
allgemeine Beweils gilt. |
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“Wie kommt es, dass ich diesen Satz (der
Geometrie oder Arithmetik) nicht eigens beweisen
muss, sondern, dass er durch den
allgemeinen Beweis schon bewiesen ist?”
Aber Du musst ihn ja beweisen, – indem Du
nämlich den besondern Satz hinschreibst, denn das
Uebrige ist nur, was allen Beweisen solcher Sätze
gemeinsam ist.
Du [,|m]usst diesen
euklidischen Satz für jedes Dreieck von
neuem beweisen; nur besteht allerdings das Besondere dieses Beweises nur
in der Zeichnung dieses Dreiecks, da das Uebrige durch
die allgemeine Form (den euklidischen
Beweis) schon vorgesehen ist.) |