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Unendlich lang. |
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Wenn man vom Begriff ‘Unendlichkeit’ redet,
muss man sich daran erinnern,
dass dieses Wort viele verschiedene Bedeutungen hat,
und daran, von welcher wir jetzt gerade reden.
Ob z.B. von der Unendlichkeit einer
Zahlenreihe und der Kardinalzahlen insbesondere.
Wenn ich z.B. sage:
‘unendlich’ seine eine Charakteristik einer
Regel, so beziehe ich mich auf eine bestimmte Bedeutung des
Worts.
Wir könnten aber sehr wohl sagen, ein kontinuierlicher
Farbenübergang sei ein Uebergang “durch
unendlich viele Stufen, wenn wir nur nicht vergessen,
dass wir hier die Bedeutung des Ausdrucks
“unendlich viele Stufen” durch die Erfahrung des
Farbenübergangs neu definieren.
(Wenn auch nach Analogie mit anderen Gebrauchsweisen des Wortes
“unendlich”.) |
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Sehen wir einen kontinuierlichen Farbenübergang, eine kontinuierliche
Bewegung, dann sehen wir keine Teile, keine
Sprünge (nicht “unendlich viele”;
ausser, ich gebe diesem Ausdruck jetzt
diese Bedeutung). |
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(Wenn man sagt, dass dieses Gebiet unseres
Gegenstands ausserordentlich 2 schwer ist, so ist das insofern // insoweit // nicht wahr, als nicht etwa von
ausserordentlich schwer vorstellbaren oder
komplizierten Dingen die Rede ist, sondern nur insofern, als es
ausserordentlich schwer ist, an den unzähligen
Fallen, die hier in der Sprache für uns aufgestellt sind,
vorbeizukommen.) |
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““Ich sagte einmal, es gäbe keine extensive
Unendlichkeit.
Ramsey sagte
darauf: “Kann man sich nicht vorstellen,
dass ein Mensch ewig lebt,
d.h. einfach, nie stirbt, und ist das nicht extensive
Unendlichkeit?” –
Ich kann mir doch gewiss denken,
dass ein Rad sich dreht und
hnie stehen bleibt.””
Welches seltsame Argument: “ich kann es mir
denken”!
Ueberlegen wir
(uns﹖), welche Erfahrung wir als
Bestätigung oder Beweis dafür betrachten würden,
dass das Rad nie aufhören wird sich zu drehen.
Vergleichen wir diese Erfahrung mit der, welche uns lehrt,
dass das Rad einen Tag, ein Jahr, 10 Jahre lang,
sich dreht und wir werden einfach den Unterschied der Grammatik der
Aussagen “…bleibt nie stehn” und
“…bleibt in 100 Jahren stehn” erkennen.
Denken wir an die Art der Evidenz, welche man für die Behauptung
anführen könnte, dass zwei Himmelskörper sich
ohne aufzuhören um einander drehen.
Denken wir an das Gesetz der Trägheit, und daran, wie es bestätigt
wird. |
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““Angenommen wir wanderten auf einer Geraden in den
euklidischen Raum hinaus und begegneten
alle 10 m eine eiserne Kugel ad inf..””
Wieder: Welcherlei Erfahrung würde ich als Bestätigung
hiefür ansehen und welche anderseits dafür, dass
10000 Kugeln in einer Reihe vorhanden sind? –
Eine Bestätigung der ersten Art wäre etwa folgende: Ich
beobachte die schwingende Bewegung eines Körpers.
Experimente haben mich gelehrt, dass
dieser Körper durch eiserne Kugeln nach einem bestimmten Gesetz
angezogen wird; die Annahme von 100 solchen Kugeln in einer Reihe in
bestimmter 3 Lage zum Testkörper
verklärt, unter der Annahme jenes
Anziehungsgesetz[t|e]s, das beobachtete (oder
angenommene) Verhalten annähernd; je mehr Kugeln wir aber in der Reihe
annehmen, um so genauer entspricht das errech[t|n]ete
Resultat dem beobachteten.
Es hat dann Sinn zu sagen, die Erfahrung bestätige die Annahme
[i|e]iner unendlichen Reihe von Kugeln.
Aber so verschieden diese Erfahrung vom Sehen einer Anzahl von Kugeln
ist, so verschieden ist der Sinn der Zahlenangabe von der, einer
“unendlichen Zahl”. |
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““Die bloss negative Beschreibung
des nicht-Aufhörens kann keine
positive Unendlichkeit liefern.””
Bei dem Ausdruck “positive Unendlichkeit” dachte ich
natürlich an eine zählbare ( = endliche) Menge von Dingen
(Stühle in diesem Zimmer) und wollte sagen, das Vorhandensein der
kollossalen Anzahl solcher Dinge könne aus dem, was uns das
nicht-Aufhören anzeigt, nicht geschlossen
werden.
Ich mache also hier den seltsamen Fehler in der Form meiner
Aussage, eine Tatsache zu leugnen, statt zu leugnen,
dass ein bestimmter Satz Sinn hat, oder richtiger, zu
zeigen, dass zwei ähnlich klingende Angaben
verschiedene Grammatik haben. |
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Welche seltsame Frage: “kann man sich eine endlose
Baumreihe denken?”!
Wenn man von einer ‘endlosen Baumreihe’ spricht, so wird
doch, was man meint, mit den Erfahrungen zusammenhängen, die man
“das Sehen einer Baumreihe”, “das Zählen
einer Baumreihe”, “das Messen einer Baumreihe”,
etc. nennt.
“Können wir uns eine unendliche Baumreihe
denken”!
Gewiss, wenn wir festgesetzt haben, was darunter
zu verstehen ist; 4 d.h.:
wenn wir diesen Begriff mit all dem in Verbindung gebracht haben, mit den
Erfahrungen, die für uns den Begriff der Baumreihe bestimmen.
Was ist das Kriterium in der Erfahrung, dafür dass eine Baumreihe unendlich ist? denn daraus werde ich sehen, wie diese Aussage zu verstehen ist. Oder gibst Du mir kein solches Kriterium, – was fange ich dann mit dem Begriff “unendliche Baumreihe” an? Was hat dieser Begriff etwa mit dem zu tun, was ich sonst eine Baumreihe nenne? Oder meinst D meintest Du am Ende doch nur: eine ungeheuer lange Baumreihe?! |
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“Aber wir kennen doch eine Erfahrung, wenn wir eine Baumreihe
entlang gehen, die wir das Aufhören der Reihe nennen können.
Nun, eine endlose Baumreihe ist eine solche, an der wir diese Erfahrung
nie machen”. –
Aber was bedeutet hier “nie”?
Ich kenne eine Erfahrung, die ich mit den Worten beschreibe:
“er hat in dieser Stunde nie gehustet”, oder
“er hat in seinem Leben nie gelacht”.
Von einer entsprechenden //
analogen // Erfahrung kann nicht gesprochen
werden, wenn sich das “nie” nicht auf ein Zeitintervall
bezieht.
Die Analogie lässt uns also hier wieder im Stich
und ich muss von neuem untersuchen, wie das Wort
“nie” in diesem Falle sinnvoll verwendet
werden kann. –
Solche Verwendungen lassen sich nun allerdings finden, aber sie
sind eben eigens auf ihre Regeln zu untersuchen.
Es kann z.B. der Satz, dass
eine Baumreihe unendlich lang ist (oder der, dass
wir nie zu einem Ende kommen werden), ein Naturgesetz
von der Art des Trägheitsgesetzes sein, das ja sagt, ein Körper
bewege sich unter bestimmten Umständen mit konstanter Geschwindigkeit in
einer Geraden; und hier könnte ja auch gesagt werden, die Bewegung
werde unter diesen Umständen nie enden.
Fragt man nach der Verifikation so eines Satzes, so kann man vor allem
sagen, dass er falsch ist falsifiziert wird, wenn die Bewegung (die Baumreihe) zu einem
Ende kommt.
Von einer Verifikation kann hier keine Rede sein, und das
heisst, dass w[o|i]r
es mit einer grundverschiedenen Art von Satz (oder mit einem Satz
5
83 in einem andern Sinn
dieses Wortes) zu tun haben.
Ich will natürlich nicht sagen, dass dies die
einzige sinnvolle Verwendung des Ausdrucks “unendliche
Baumreihe”, oder des Wortes “nie” (in alle
Ewigkeit) sei.
Aber jede dieser Verwendungen muss eigens
beschrieben // untersucht //
werden und hat ihre eigenen Gesetze.
Es nützt uns nichts, dass wir eine Redeform fertig in
unserer gewöhnlichen Sprache vorfinden, weil diese Sprache jedes
ihrer Wörter in ˇden verschiedensten Bedeutungen gebraucht, und,
dass wir den Gebrauch des Wortes in
einem Fall verstehn, und erspart uns nicht die
Untersuchung seiner Grammatik in einem andern.
So meinen wir etwa: “es ist doch
gewiss möglich, sich ein unendlich langes Leben
vorzustellen, denn unendlich lang lebst der, der einfach nie
stirbt”.
Aber der Gebrauch des Wortes “nie” ist eben
gar nicht so einfach. |
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Reden wir nun von einem endlosen Leben im Sinne einer Hypothese
(vergl. Trägheitsgesetz) und, der es lebt, wählt
nacheinander aus den Brüchen zwischen 1 und 2,
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83 alle Intervalle erreicht,
dass er sie zu einer bestimmten Zeit erreicht, der
Prozess also zu einem Ende kommt, – was der ersten
Annahme widerspricht.
Folgert man also daraus, dass er jedes
Interval erreicht, dass er sie alle
erreicht, so verwendet man das Wort “erreicht” das
zweitemal in ganz anderer Weise!
“Denken wir uns aber nun einen Mann, der im Auswählen aus den Intervallen eine immer grössere Uebung [g|b]ekäme bekäme, so dass er zur ersten Wahl eine Stunde, zur zweiten eine halbe, zur dritten ein Viertel brauchte, u.s.w. ad inf.. Dann würde der ja in zwei Stunden mit der A ganzen Arbeit fertig!” Stellen wir uns einmal den Vorgang vor. Das Auswählen bestünde etwa im Aufschreiben des Bruches, also in einer Bewegung der Hand. Diese Bewegung würde nun immer schneller; so schnell sie aber auch wird, so gibt es immer ein letztes Interval, das in einer bestimmten Zeit von ihr erledigt wird. Die Ueberlegung unseres // des // Einwands beruhte auf der Bildung der Summe 1 +
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Denken wir uns nun die Hypothese, jemand werde unter gewissen
Umständen die Ziffern der Zahl II (etwa im
Sechsersystem) 7
83 würfeln.
Diese Hypothese ist also ein Gesetz, mit dessen Hilfe ich für jeden
Wurf die Zahl der geworfenen Augen ausrechnen kann.
Wie aber, wenn wir die Hypothese dahin modifizierten,
dass jemand unter gewissen Umständen
nicht die Ziffern von II werfen
werde!
Sollte das nicht auch einen Sinn haben?
Wie aber kann man je wissen, dass diese Hypothese
richtig ist, da er ja zu jeder gegebenen Zeit
II gemäss geworfen haben mag
und die Hypothese dadurch doch nicht widerlegt ist.
Aber das heisst, doch eben,
dass wir es hier mit einer andern Art
von Hypothese zu tun haben; mit einer Satzart, für die in ihrer Grammatik
keine Falsifikation vor vorgesehen
ist.
Und es steht mir frei, das “Satz”, oder
“Hypothese”, oder ganz anders zu nennen, wenn ich
will.
(II ist kein
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Die Unendlichkeit der Zeit ist keine Ausdehnung. |
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Wenn wir fragen: “worin besteht die Unendlichkeit der
Zeit”, so wird man uns sagen: “darin,
dass kein Tag der letzte ist,
dass auf jeden Tag wieder ein Tag
folgt”.
Hier werden wir aber wieder verleitet, die Sache durch eine
Analogie falsch zu sehen.
Wir vergleichen nämlich etwa die Folge der Tage mit der Folge von
Ereignissen (in der Zeit)
z.B. den Schlägen einer Uhr.
Wir machen⌊/⌋dann manchmal die
Erfahrung, dass 4 Schlägen ein 5ter
folgt.
Hat es nun auch Sinn, von der Erfahrung zu reden,
dass auf vier Tage ein fünfter folgt?
Und kann man sagen: “siehst Du, ich habe es Dir
vorhergesagt: es wird auf den vierten noch einer
folgen”?
So gut könnte man sagen, es sei eine Erfahrung,
dass auf den vierten gerade der fünfte folgt und
kein andrer.)
Wir reden hier aber nicht von der Vorhersage, es werde die Sonne
nach dem vierten Tag sich so wie bisher bewegen; das ist
eine echte Vorhersage.
Nein, ˇin unserm Fall handelt es sich nicht 8 um eine Vorhersage, kein Ereignis wird
prophezeit, sondern wir sagen etwa: dass
es Sinn hat, in Bezug auf jeden Sonnenauf- und Untergang
von einem nächsten zu sprechen.
Denn die Bedeutung der Bezeichnung eines
Zeitmasses ist ja an ein Geschehnis gebunden: den
Umlauf eines Zeigers, die Bewegung der Erde, etc.
etc.; sagen wir aber “auf jede Stunde folgt eine
nächste”, und haben wir die Stunde etwa durch den Umlauf eines
bestimmten Zeigers [)|(]als Paradigma) definiert,
so wollen wir mit jeder Aussage dennoch (doch) nicht
prophezeien, dass sich dieser Zeiger in alle
Ewigkeit so weiter drehen wird; – wir wollen aber sagen:
dass er sich “immer so weiter drehen
kann”; und das ist eben eine Aussage über die
Grammatik unserer Zeitbestimmungen. |
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Stellen wir uns vor, dass ein Mann, der unendlich
lange Zeit gelebt hat, weil er nie geboren wurde, sagt:
“Jetzt schreibe ich die letzte Ziffervon von
II hin, nämlich die 3 Einer”.
Er hatte an jedem Tag seines Lebens eine Ziffer hingeschrieben und
niemals damit angefangen; jetzt ist er fertig geworden. |
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Man denkt, eine grosse Zahl sei dem Unendlichen doch
näher als eine kleine.
Das unendliche konkurriert mit dem Endlichen nicht.
﹖– Es ist das, was wesentlich kein Endliches
ausschliesst –﹖.
Der Raum hat keine Ausdehnung, nur die räumlichen Gegenstände sind ausgedehnt. Die Unendlichkeit ist eine Eigenschaft des Raumes. (Und das zeigt, dass sie keine unendliche Ausdehnung ist.) |
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“A ist mein Ahne” das
heisst: “A ist mein Vater, oder
der Vater meines Vaters, oder der Vater des Vaters meines Vaters, oder
u.s.w.”.
Wohl, aber 9
dadurch haben wir nur ein Satzzeichen
für ein anderes gesetzt, den Sinn aber noch nicht bestimmt, denn wir
haben ihn ja nicht – wie es leicht scheint – auf den uns
bekannten Sinn einer logischen Summe zurückgeführt. –
Ich werde also weiter fragen: “Wie
weiss man das, dass A ein
Ahne des B ist?” denn das
heisst: “in welchen Fällen will ich
sagen, A sei ein Ahne des B”, oder auch:
“was verstehe ich unter einem ‘Ahnen des
B’”.
Nenne ich so Jeden der eine bestimmte Eigenschaft hat, die
unserer Erfahrung nach in der Familie des B erblich ist?
Wenn das die Definition ist, so kann ich etwa von einem
Menschen feststellen, dass er kein
Ahne des B ist.
Oder aber, ist der Satz so aufzufassen, dass es
eine // die // Feststellung,
dass Einer kein Ahne des B ist,
nicht gibt (dass diese Feststellung also in
unserer Grammatik nicht vorgesehen wurde), sondern nur die,
dass jemand Ahne des B ist: dann aber
haben wir es mit einer ganz andern Satzart zu tun, als im ersten
Fall.
(Erinnere Dich übrigens daran, dass unter
den Eigenschaften, die in der Familie des B erblich sind, natürlich
nicht die sein darf, ‘ein Ahne des B, oder B, zu
sein’ und vergleiche Russells Definition von “Rx”.) |
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Damit, dass gesagt wird,
dass aus der unendlichen Hypothese
“(n)
:(Enx).fx” (wie ich sie, der
Kürze wegen, jetzt schreiben will) jeder beliebige Satz
(Enx).fx folgt und
sie selbst aus keinem logischen Produkt dieser Sätze, ist natürlich noch
gar nichts über den weiteren Gebrauch dieses Spiels gesagt.
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Vergleichen wir die Sätze: “ich richte meine Handlungsweise
darauf ein, dass dieser Zustand noch 2 Jahre dauern
wird” und “ich richte meine 10 Handlungsweise // mich // darauf ein, dass
dieser Zustand ewig dauern wird”. –
Hat der Satz Sinn: “ich glaube (oder erwarte, oder
hoffe), dass es die unendliche Zeit hindurch so
bleiben wird”? –
Man kann sagen: “ich mache // treffe // Vorbereitungen für die nächsten 3 Tage”, oder 10 Jahre, etc., und auch “ich mache // treffe // Vorbereitungen auf unbestimmte Zeit”; – aber auch: “auf unendliche Zeit”? Wenn ich “Vorbereitungen auf unbestimmte Zeit treffe”, dann lässt sich gewiss ein Zeitraum angeben, für den ich jedenfalls keine Vorbereitungen mehr mache // treffe // . D.h., aus dem Satz “ich mache // treffe // Vorbereitungen für unbestimmte Zeit” folgt nicht jeder beliebige Satz von der Form: “ich mache // treffe // Vorbereitungen für n Jahre”. Denken wir gar an den Satz: “ich vermute, dass dieser Zustand ohne Ende andauern // so weitergehen // wird”! Oder an den komischen Klang der Widerlegung: “Du hast gesagt, dieses Uhrwerk werde immer so weitergehen, – nun, es steht jetzt schon”. Wir fühlen, dass ja doch auch jede endliche Vorhersage einer zu langen Gangdauer durch die Tatsache widerlegt wäre, und die Widerlegung daher in ir- 11 gend einem
Sinn mit der Behauptung inkommensurabel sei. –
Es ist nämlich Unsinn, zu sagen: “das Uhrwerk ist nicht
unendlich weiter gelaufen, sondern nach 10 Jahren stehen
geblieben” (oder, noch komischer: “…,
sondern schon nach 10 Jahren stehen geblieben”).
Wie seltsam, wenn man sagte: “Es gehört grosse Kühnheit dazu, etwas auf 100 Jahre vorauszusagen; – aber welche Kühnheit muss dazu gehören, um etwas auf unendliche Zeit vorauszusagen, wie ˇes Newton im Trägheitsgesetz getan hat!” Ich glaube, das wird immer so weiter gehen”. – “Ist es nicht genug (for all practical purposes), wenn Du sagst, Du glaubst, es werde noch 10000 Jahre so weiter gehen?” – Wir müssen nämlich fragen: kann es Gründe zu diesem Glauben geben? Welches sind sie? Welches sind die Gründe zur Annahme, dass die Uhr noch 1000 Jahre lang weiter gehen wird; welches, die Gründe für die Annahme, dass sie noch 10000 Jahre gehen wird; – und welches nun die Gründe zur unendlichen Annahme?! – Das ist es ja, was den Satz “ich vermute, dass es endlos so weitergehen wird” so komisch macht; wir wollen fragen: warum vermutest Du das? Wir wollen nämlich sagen, dass es sinnlos ist zu sagen, man vermute das
Denken wir an den Satz: “dieser Komet wird sich in einer Parabel von der Gleichung … bewegen”. Wie wird dieser Satz gebraucht? Er kann nicht verifiziert werden; d.h.: wir haben keine Verifikation in seiner Grammatik für ihn vorgesehen (das heisst natürlich nicht, dass man nicht sagen kann, es sei wahr; denn “p ist wahr” sagt dasselbe wie “p”). Der Satz kann uns nun dazu bringen, bestimmte Beobachtungen zu machen. Aber für die hätte es immer auch eine endliche Vorhersage getan. Er wird auch gewisse Handlungen bestimmen. Z.B. könnte er uns davon abhalten, den Kometen an dem und dem Ort zu suchen. Aber auch dazu hätte eine endliche Angabe genügt. Die Unendlichkeit der Hypothese besteht nicht in ihrer Grösse, sondern in ihrer Unabgeschlossenheit. 12 |
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“Einmal wird die Welt untergehen”: eine unendliche
Hypothese. |
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Der Satz: dass einmal – in der unendlichen
Zukunft – ein Ereignis (z.B. der
Weltuntergang) eintreten werde, hat eine gewisse formale
Aehnlichkeit mit dem, was wir Tautologie
nennen. |
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